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D'après son origine même, la formule d'interpolation de Gauss est 

 particulièrement propre à certaines applications du domaine de l'as- 

 tronomie et de la physique lAathématique. 



26. Autres généralisations. — La formule (2) du numéro précédent 

 suggère tout naturellement une généralisation de celle de Lagrange. 



Si dans les coefficients 



^ _ (,T — x^) [x — ,r3) . ■ ■ (.ri — x„) 



on remplace tous les facteurs binômes par des fonctions de ces 

 facteurs qui s'annulent avec eux, tels que des sinus, des tangentes, 

 par exemple, la nouvelle valeur de X,- satisfera encore à la condition 

 de s'annuler pour o; = og^, x.^, .,., £c,_^,a?,+^, ..., x,^ et de devenir 

 égale à l'unité pour x = Xi, Donc la formule : 



u = XiUi + X2U2 + . . . + XnU,i 



sera encore valable avec cette nouvelle définition des fonctions X. 



Brassime (/. de Liouville, V^ série, t. Il) a donné aussi la formule 

 suivante, où F[x) = {x — x^) {x — x.^) ... [x — Xn), et où A,, A^, ..., 

 sont des quantités arbitraires : 



AiUi F {x) {x — cCi)-! + Agita F {x) {x — x^)-^ + . . . 

 AiF {x) {ic — x^)-^ + A2U2 F (.X) {x — ^2)-! + . . . • 



On peut encore l'écrire : 



AjUi {'J^ — 3C^)-^ + AaMa (-^ — ■^2)"^ + • • • 

 Ai(x — .ïi)-i + A2(a; — a-2)-i +.... 



27, Je tiens enfin à signaler une généralisation très étendue, que 

 j'ai donnée pour la première fois dans le Bulletin de la Soc. Math, 

 de France (1891, p. 44). 



Considérons une fonction quelconque cp, et soit cp-' la caractéris- 

 tique de la fonction inverse, en sorte qu'on ait toujours : 



œ [cp-i (z)] = cp-i [(ù (z)] = z. 



Pais reprenons la formule de Lagrange sous la forme : 



u = Xi^i + Xgiia + . . . + X„u,i. 



