NOTES SUB L INTERPOLATION 113 



Si nous remplaçons les m du second membre par ©-^ (t(,), a-' (m.,), ... 

 et si nous prenons la fonction tp de ce second membre ainsi trans- 

 formé, la formule deviendra : 



U = cp [Xjcp-i (ui) + X^cp-^ (u,) + . . . + X„o-i (u„)]. 



Il est clair que si Ton y remplace x par a;,, tous les X s'annulent, 

 sauf Xi qui devient égal à 1 ; et la valeur correspondante de U est 



? [?"■* (^«)] = W'- 



La formule nouvelle satisfera donc à toutes les conditions du pro- 

 blème, tout comme celle de Lagrange; mais elle présente une sou- 

 plesse pour ainsi dire infinie, résultant de l'indétermination de la 

 fonction ©. 



11 y a lieu de constater que cette généralisation peut s'étendre à 

 la formule de Cauchy, étudiée au chapitre iv, et plus généralement 

 à une formule d'interpolation quelconque : 



W = F (■X,Ui,U2, . . . Un). 



En effet, si dans le second membre on remplace les u par ci~^ (i^,), 

 ..., pour la valeur particulière x = a?,, ce second membre deviendra 

 9-^ {Ui). Par conséquent la formule : 



U = cp[F(./',, ç-iK),cp-i(u2), ...c.-'(a„)] 



donnera pour valeur particulière œ [cp^' (w;)] = Uj, c'est-à-dire con- 

 viendra encore. 



CHAPITRE vil 



Fonctions numériques. — Applications algébriques 



28. Fonctions numériques . — L'étude de certaines questions, sur- 

 tout en tbéorie des nombres, amène à considérer des fonctions qui 

 ne sont définies que pour des valeurs spéciales de la variable, par 

 exemple pour les valeurs entières. Il y aurait un intérêt très grand à 

 pouvoir substituer à cette définition numérique une définition analy- 

 tique, c'est-à-dire qu'on trouverait une fonction prenant toutes les 

 valeurs indiquées, et prenant en outre des valeurs déterminées pour 

 des valeurs quelconques de la variable. 



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