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C'est là un problème résolu dans quelques cas particuliei-s. En 

 général, il présente de grandes difficultés et conduitàdes remarques 

 intéressantes et importantes au point de vue de l'analyse (^). Nous 

 ne l'aborderons pas ici, car ce serait sortir de notre cadre, lequel 

 est beaucoup plus élémentaire. Seulement, pour préciser par un 

 exemple, nous indiquerons la fonction œ\ =1. 2. 3..,. x, ou facto- 

 rielle de x, définie par le produit des x premiers nombres entiers. 

 On sait que la fonction transcendante eulérienne r (a; -f 1) donne la 

 solution, c'est-à-dire qu'on a,V [x -\- i) ^= x\ pour toutes les valeurs 

 entières positives de a; et que la fonction T est définie pour toute 

 autre valeur de x. 



L'interpolation traitée sous cette forme intéresse la science pure 

 beaucoup plus que les applications. Dans les numéros qui suivent, 

 nous allons, à un point de vue beaucoup plus élémentaire, montrer 

 comment les considérations présentées jusqu'ici peuvent être utiles 

 à l'algèbre. 



29. Une sommation. — Soit qu'on se propose de déterminer la 

 somme des p premiers coefficients du développement de [a -\- b) ^ . 

 Par définition, cette somme est : 



„ _ 1 - ' . n{n-\) n(n-l)...(n-p+2) 



Si dans cette expression on considère p comme constant, et n 

 comme variable, on voit que cette fonction est entière et de degré 

 p — 1. Elle est donc déterminée par %> valeurs correspondantes. Or 

 pour n = 0, 1, 2, ...,|j — 1, elle prend les valeurs 1, 2, 22,..., 2^-^ 

 La question se trouve donc ramenée à un problème d'interpolation. 

 En appliquant la formule de Newton, on retomberait sur l'expres- 

 sion précédente, qui définit Un,p ; en appliquant celle de Lagrange, 

 on a : 



Un,p = n[n — 1) ... (71 — p + 1) X 



L(p_l)!(„_p+l)-l!(p_2)!(n-p + 2) + 2!(p-3)!(n-p4-3)' 



2 2 1 



'" ^ (p — 2)! 1! (n — 1) ^ (p— 1)! nj 



et incidemment se trouve établie l'identité des deux formes de l'ex- 

 pression M„,p qui, directement, est loin de l'évidence. 



(1) Voir H. Laurent, Traité d'analyse, t. III, p. 418 et suiv. 



