NOTES SUR l'interpolation 11d 



30. Un problème sur les différences finies. — La différence pre- 

 mière Aa; d'une variable indépendante étant constante et prise pour 

 unité, on cherche une fonction F(j;) telle qu'il existe entre F (a; -j- 1) et 

 ¥{x) une relation donnée. Ce problème a été repris récemment par 

 M. E.-M. Lémeray, qui en adonné une solution nouvelle, et qui, sur 

 la prière que nous lui avons faite, a bien voulu résumer cette solu- 

 tion dans une note à laquelle nous empruntons l'exposé qui va suivre. 



Si l'on pose F (a;) = y, F(.r' -\-i) = y,, on devra avoir : 



(1) Ui = ?(y)> 



<L> étant une fonction donnée. De l'équation (1) on tire : 



Ui = ?(yi) = ?2(j/)> • • • y»,+i = f [?/«('/)] = ^n,+i{y), ■ . . 



et, si l'on se donne pour // une valeur arbitraire y^, on pourra calcu- 

 ler autant de valeurs de la fonction que l'on voudra, pourvu que cp 

 ne cesse pas d'exister ; <i-_, désignant la fonction inverse de œ, on 

 aura de même : 



y-i = -f-iiy): y-2 = ?-i[?-i(y)] = ?-2(^), • • • 



Le problème consiste à interpoler les valeurs trouvées. 



Une remarque fondamentale, et connue depuis longtemps, est la 

 suivante : il arrive souvent que les valeurs qu'on vient d'obtenir en 

 répétant soit la substitution directe, y, 'Jf{y), soit la substitution 

 inverse y, (îi_^{y), tendant vers une limite. Cette limite, si elle 

 existe, est nécessairement un zéro de (ù{y) — y, puisque, si a est la 

 limite, on a ct(a) = a, ou, ce qui revient au même, ©_| (a) = a. Mais 

 l'équation z{y) — y =z peut avoir des racines en nombre fini ou 

 infini ; si en partant de y^^ la substitution converge vers une racine 

 déterminée a, on dit que y„ appartient au domaine de a. 



Si Ton prend a pour origine, et si pour plus de simplicité on dé- 

 signe encore par o la fonction rapportée à cette nouvelle origine; en 

 admettant de plus que la fonction soit développable dans son voisi- 

 nage en série entière, on a trois cas à considérer : 



p 



? [y] = w + -^y^ + • • • > 

 <?iy)=^,y"+ '■', 



