116 C.-A. LAISANT 



i désignant une racine de l'unité. Ce qui suit suppose de plus que 

 tous les coefficients des seconds nombres sont réels ; que dans le 

 premier cas A est positif, différent de 1 et de ; que dans le second, 

 { = 4- 1 ; que dans le troisième P est positif si p est impair. Le pro- 

 blème envisagé est indéterminé comme la plupart des problèmes 

 d'interpolation. On en a une solution dans les expressions suivantes : 



F (■J'SJ/o) = lim ci_„, I A^cp„, (f/o) | , 



(2) F (x,?/o) = lim cp_„, (1 — ■— 7— , 



' \ m{p—\) cp„, (î/o) j 



m est considéré comme infini pour le calcul des limites ; et dans le 



1 



troisième cas, on a posé (— ) = K- Dans les hypothèses faites 



pour chacun des trois cas, les formules représentent une fonction 

 qui peut être réelle quand x et y,, sont réels. Elles sont relatives à 

 la convergence parla substitution directe ; dans le cas delà conver- 

 gence par la substitution inverse, on a des formules analogues. 



La fonction tp et son inverse étant supposées bien connues, on 

 peut admettre qu'on a (par un procédé quelconque) construit des 

 tables donnant leurs valeurs pour toutes les valeurs réelles ou ima- 

 ginaires de la variable. Les formules (2) permettent alors le calcul 

 effectif de la fonction F; elles pourront souvent être appliquées, 

 même quand y^ est pris en dehors de la région où 'j>{y) est régu- 

 lière ; m(ais la détermination générale des conditions nécessaires et 

 suffisantes pour que les formules soient valables est délicate ; les 

 fonctions cp et œ_^ peuvent avoir plusieurs déterminations, et il faut 

 savoir laquelle choisir. Or, la considération des surfaces de Rie- 

 mann, sur lesquelles on peut représenter les fonctions cp et o--^ n'est 

 pas suffisante; car lorsqu'on calcule les valeurs ym+\-i Vm^^^--- de 

 la fonction, la variable ne suit pas un chemin continu, mais prend 

 les valeurs discontinues r//,,, t/,„4.^,... Dans les cas où l'on n'aura 

 pas d'indécision, les formules pourront être employées. 



Les limites vers lesquelles tendent les fonctions (2) peuvent d'ail- 

 leurs devenir infinies pour certaines valeurs de oc qui seront des 

 pôles de F. 



Il s'en faut de beaucoup que tous les zéros de % [y] — y possèdent 

 un domaine, c'est-à-dire que dans n'importe quel cas, on puisse 



