NOTES SUR l'interpolation 117 



trouver une valeur y„ telle que l'une des substitutions converge vers 

 l'un de ces zéros. M. Lémeray a notamment signalé un cas dans 

 lequel aucun des zéros ne possède de domaine, et où l'on est conduit 

 pour F à une fonction doublement périodique. 



On peut ramener à l'équation (1) l'équation aux différences finies 

 du premier ordre. 



Il suffit en effet de poser Ay = 2/( — y ^t y -\- f{y) =^ z> {y). 



CHAPITRE VIII 



Interpolation des suites récurrentes 



31. La question que nous comptons traiter ici rentre en partie dans 

 celles du chapitre précédent ; mais elle présente cependant des par- 

 ticularités assez remarquables pour mériter d'être étudiée à part. 



Rappelons tout d'abord qu'une suite 



Uq Hi ... Ufj 



est récurrente et du n'' ordre lorsqu'un terme quelconque peut s'ex- 

 primer par une fonction linéaire homogène donnée des n termes qui 

 le précèdent, en sorte qu'on a : 



(1) M;i+A- = C,i-i U„+/,— 1 + C„_2 ll„+A_2 + • • • + CqU/^., 



relation qu'on peut écrire symboliquement 



M^r.CÙ [U] = 



et qu'on appelle l'échelle de récurrence de la suite. 

 L'équation algébrique : 



Cf («) = 



donnerait aussi tous les éléments de l'échelle de récurrence ; et en y 

 ajoutant les n premiers termes de la suite ii^, u^, ..., ^t,l-^, ou même 

 n termes quelconques de rangs connus, on aurait tous les éléments 

 permettant de déterminer complètement la suite. 



Les suites récurrentes du premier ordre, par exemple, où o{x) est 

 ■jO — a, ne sont autres que les progressions par quotient, où la raison 



