118 C.-A. LAISANT 



a etlaconnaissance d'un terme quelconque suffisent pour déterminer 

 la progression. 



L'insertion des moyens dans une progression par quotient se fait 

 en mettant l'expression du terme u,i sous la forme w^a", puis en 

 écrivant : 



F [z] = u^a^ 



et en substituant à z les valeurs correspondant aux intervalles égaux 

 en lesquels est partagé celui qui sépare deux termes, it^,, Ui,^^ par 

 exemple. Ce procédé constitue en réalité une interpolation des va- 

 leurs t^^, if, ..., w,„ ... correspondant àO, 1, ..., m ... 



C'est ce même problème que nous nous proposons ici d'étendre à 

 une suite récurrente quelconque. 



Dans ce but, désignons para,, a^i •••i ^« les racines de l'équation 

 cp(a;) = ci-dessous, en sorte que : 



et posons : 



u. = AiQi^ + K^a^- + . . . + Ka,r. 



Si l'on donne à z les n -\- 1 valeurs entières ma,, m/,4,, t^/,x,i, il est 

 évident que la relation de récurrence (i) sei-a vérifiée. 



Donc on aura interpolé complètement la suite par la formule que 

 nous venons d'écrire, à la condition de remplacer les coefficients 

 A^, A2, ... par des valeurs telles que pour ^ =:0, 1, 2, ... n — 1, on ait 

 zt^, u^y 11-21 ..., W/i-^- Ceci conduit aux équations linéaires : 



Aj + A2 + A3 + ... + A„ = «0, 

 AjOi + AgOg + Ag^g + . . . + A„a„ = u^, 



Ajai"-! + Àgag^-i + AgOg"-! + . . . + À„o„«-i = u„_i. 



En appelant A le déterminant des coefficients des A, et A,, A^, ... 

 A„ les déterminants obtenus parla substitution des seconds membres 

 Wq, m^, ... dans la première, la deuxième colonne, ... il nous vient en 

 définitive : 



u = -^ aï + f «2 + . . . + Y «" 



et cette formule interpole entièrement la suite. 



Si l'on veut par exemple s'en servir pour interpoler w^ moyens entre 



