d'où 



et 



120 C.-A. LAISANT 



Faisant ;r =0, 3-=.!, il vient : 



Al + Ag = 0, 

 A, (ii^) + A, (1^) . 1. 



On vérifie aisément que cette formule interpole entièrement la 

 suite proposée, et permet par suite l'insertion de moyens, et en gé- 

 néral determes intercalés, en aussi grand nombre qu'on voudra. Il est 

 seulement utile de remarquer, comme nous le montre cet exemple, 

 que les termes intercalaires peuvent parfaitement devenir imagi- 

 naires. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, en insérant un seul 

 moyen entre deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci. 



33. En supposant que toutes les racines de l'équation cp(a;) = 

 soient positives, le cas que nous venons de signaler à l'instant ne 

 peut se produire, et la formule d'interpolation : 



u = AïOi- + AgOa" + • • • + A„a„- 



ne donne que des valeurs réelles pour toute valeur de z. 



Dans cette hypothèse, cette fonction u admet une dérivée réelle 

 aussi pour chaque valeur de z^ et c'est : 



y = Al /oj 0^= + ... + A„ /a„ a^" 

 = A\a^' + . . . + A'„a„^ 



On peut considérer la suite 



qui correspond aux valeurs entières de z, et appeler cette suite la 

 dérivée première de celle primitivement donnée. 



La forme obtenue montre que cette suite dérivée est elle-même 

 récurrente et du même ordre, et de plus que l'échelle de récurrence 

 est la même. De proche en proche, on voit que toutes les suites déri- 



