G. koeNigs. — SUR Les trajectoires mécaniques id 



2. Si U se réduit à zéro, le mouvement est dit géodésique; tout 

 mouvement d'un système peut être considéré comme un mouve- 

 ment géodésique troublé. Mais ce point de vue trop strictement 

 adopté conduirait à des résultats moins simples que ceux que l'on 

 obtient parla méthode suivante : 



Soit, comme il a été dit, 2 T (qi qs . . qn , pi . . pn ) la force vive, 

 que je suppose indépendante de t et homogène et du second degré 

 en pi , . Pn . Soit V (qi , q2 . . qn , ai . . an-i) une solution com- 

 plète avec (n-l) constantes non additives de l'équation. 



/M T^ / d V d \/\ 



(4) T(qi. -qn,^, • •,— ) = 1; 



Je choisis dans le problème général (celui où U n'est pas nul) 

 la fonction 



(3) S = y an V (qi , qa . . qn , ai . . an-i) 



comme fonction transformatrice, au lieu de prendre cette fonction 

 diminuée de an t, comme il le faudrait pour le mouvement géodé- 

 sique troublé. Les formules de transformation seront : 



r-dV ^11^^ ^ /— dV 



Pi 



dqi 



La fonction G n'est autre que 



rv f d V d V d V\ ,, , > 



G == an T qi . . qn ,-^ — , -r~.. - -j — — U ( qi . . qn ) 

 V d qi d q.2 d qn / 



c'est-à-dire, eu égard au choix de V, 



(7) G = an — U (qi . . qn ) 



et les équations du mouvement acquièrent alors la forme (7), où le 

 temps ne figure pas explicitement dans G du moment qu'il ne figure 

 pas dans U. 



Si U était nul, les équations (3) seraient celles du mouvement 

 géodésique et donneraient : 



^= (i = 1,2 . . . n) et ^= (i = 1, 2, . . n-l) 



tandis que 



d bn 



dt 

 en sorte qu'on a pour le mouvement géodésique 



