34 D. ANDRÉ. — SUR LE PARTAGE EN QUATRE GROUPES 



2. Après avoir résumé ce qu'il importe de savoir sur le partage 

 en deux classes des permutations des n premiers nombres, ainsi 

 que sur leur partage en deux espèces, nous expliquons (ch. I) leur 

 partage en quatre groupes. Nous étudions les nombres des permu- 

 tations contenues dans ces quatre groupes : nous montrons que ces 

 quatre nombres sont égaux deux à deux, lorsque n est égal ou supé- 

 rieur à 4 ; et qu'ils sont tous égaux entre eux, lorsque n atteint ou 

 dépasse 6. 



3. Nous rappelons ensuite (ch. II) ce qu'on entend par permuta- 

 tions inverses et par permutations symétriques. Nous prouvons que, 

 quand on passe d'une permutation quelconque soit à son inverse, 

 soit à sa symétrique, l'espèce ne change jamais, tandis que, suivant 

 la forme du nombre n, la classe change ou ne change pas. Il s'ensuit 

 que, dans le tableau complet des permutations des n premiers 

 nombres, deux permutations inverses ou symétriques appar- 

 tiennent, suivant la forme de n, tantôt toutes deux à un même 

 groupe, tantôt l'une à un groupe et l'autre à un autre. 



4. Il est naturel de distinguer les permutations ordinaires, dont 

 l'inverse et la symétrique sont différentes, des permutations sin- 

 gulières, dont l'inverse et la symétrique ne sont qu'une seule et 

 même permutation. Nous calculons (ch. III) le nombre des permu- 

 tations singulières, celui des permutations ordinaires, et la proba- 

 bilité pour qu'une permutation prise au hasard soit ordinaire ou 

 singulière. Nous faisons voir que toutes les permutations singu- 

 lières sont de la seconde espèce; qu'il y a autant de permutations 

 singulières de la seconde classe qu'il y en a de la première; et de 

 quelle manière les permutations, soit ordinaires, soit singulières, 

 se répartissent entre les quatre groupes. 



5. Les permutations ordinaireâ se réunissent quatre par quatre 

 pour former les assemblages ordinaires ; les permutations singulières 

 se réunissent deux par deux pour former les assemblages singulières. 

 Nous faisons connaître (ch. IV) les modes de décomposition en 

 couples d'un assemblage ordinaire quelconque ; nous donnons le 

 nombre des assemblages ordinaires et celui des assemblages 

 singuliers ; nous prouvons que toutes les permutations d'un même 

 assemblage sont de la même espèce, et que tous les assemblages 

 singuliers sont de la seconde; nous disons combien il y a d'assem- 

 blages ordinaires de la seconde espèce et combien il y en a de la 

 première. Enfin, nous montrons que, lorsque n affecte certaines 

 formes, il n'y a pas lieu de répartir les assemblages entre les quatre 



