36 D. ANDRÉ. — SUR LE PARTAGE EN QUATRE GROUPES 



8. Dans une Note présentée récemment (1) à la Société Philoma- 

 tique de Paris, nous avons nous-même partagé les permutations 

 des n premiers nombres en deux espèces, d'après le nombre pair ou 

 impair de leurs séquences. 



Nous avons appelé permutations de la première espèce, celles qui 

 présentent un nombre pair de séquences; permutations de la 

 seconde, celles qui en présentent un nombre impair. La permuta- 

 tion 413256, qui nous offre quatre séquences, est ainsi de la 

 première espèce. La permutation 423165, qui nous en offre cinq, 

 appartient à la seconde. 



9. Nous aurons constamment, dans ce qui va suivre, à considérer 

 ces deux modes de partage. Pour empêcher que l'on ne confonde 

 l'un avec l'autre, nous emploierons toujours le mot classe, lorsque 

 nous effectuerons le partage en nous appuyant sur la considération 

 des dérangements ; toujours le mot espèce, lorsque nous l'effec- 

 tuerons en nous appuyant sur la considération des séquences. 



II. — Comparaison des classes et des espèces. 



10. C'est un fait bien connu qu'une permutation des n premiers 

 nombres change toujours de classe quand on échange entre eux 

 deux quelconques de ses éléments. Par exemple, si, dans la per- 

 mutation 412653, qui est de la première classe, on échange entre 

 eux les éléments 1 et 5, on obtient la permutation 452613, qui est 

 de la seconde. 



Au contraire, par un échange de deux éléments, tantôt une 

 permutation change d'espèce, tantôt elle n'en change pas. Ainsi, la 

 permutation 614325, qui est de la première espèce, donne, par 

 l'échange de ses deux éléments initiaux, la permutation 164325, qui 

 est de la seconde espèce ; par l'échange de ses deux éléments moyens, 

 elle donne la permutation 613425, qui est encore de la première. 



11 y a là, évidemment, une différence essentielle entre le partage 

 en classes et le partage en espèces. 



11. Onsait aussi que, parmi les permutations des n premiers nombres, 

 il y en a autant de la seconde classe qu'il y en a de la première. 



De même, comme nous l'avons établi à deux reprises (2) et par 

 deux méthodes différentes, parmi les permutations des n premiers 



(1) Séance du 27 juin 1891. 



(2) Annales de l'Ecole normale supérieure, 3' série, T. I, 1884, p. 131 ; — Bulle- 

 Un de la Société Philomatiiique de Paris, 8" série, T. III, 1890-1891, p. 153. 



