DES PERMUTi^riONS DES 11 PREMIERS NOMBRES 37 



nombres, il y en a autant de la seconde espèce qu'il y en a de la 

 première. 



Dans les deux cas, la proposition est la même. Il y a toutefois une 

 légère différence. Lorsqu'il s'agit des classes, la proposition est 

 vraie quel que soit n ; lorsqu'il s'agit des espèces, elle suppose 

 essentiellement que n soit égal ou supérieur à 4 : elle ne subsiste 

 ni pour la valeur 2, ni pour la valeur 3. 



III. — Partage des permutations en quatre groupes. 



12. Prenons le système ou tableau complet des permutations des 

 n premiers nombres, n étant quelconque. Nous pouvons évidem- 

 ment, par la double considération des espèces et des classes, c'est- 

 à-dire en tenant compte de l'espèce et de la classe de chaque 

 permutation, partager ce tableau en quatre groupes, savoir : 



1° Les permutations de la première espèce et de la première classe; 

 2° Les permutations de la première espèce et de la seconde classe ; 

 3° Les permutations de la seconde espèce et de la première classe ; 

 4° Les permutations de la seconde espèce et de la seconde classe. 



13. Évidemment, nous n'avons pas à nous occuper du cas où n 

 est égal à l'unité. Dans ce cas, en effet, il n'y a ni dérangement, ni 

 séquence possible, et, par conséquent, ni classe, ni espèce. 



Lorsque n est égal à 2, il y a deux permutations. Sur ces deux 

 permutations, il n'y en a aucune de la première espèce et de la 

 première classe ; aucune de la première espèce et de la seconde 

 classe; il y en a une de la seconde espèce et de la première classe; 

 une aussi de la seconde espèce et de la seconde classe. 



Lorsque n est égal à 3, il y a 6 permutations. Sur ces 6 permuta- 

 tions, il y en a 2 de la première espèce et de la première classe ; 

 2 de la première espèce et de la seconde classe ; 1 de la seconde 

 espèce et de la première classe ; 1 de la seconde espèce et de la 

 seconde classe. 



Lorsque n est égal à 4, il y a 24 permutations. Sur ces 24 permu- 

 tations, il y en a 4 de la première espèce et de la première classe; 

 8 de la première espèce et de la seconde classe ; 8 de la seconde 

 espèce et de la première classe; 4 enfin de la seconde espèce et de la 

 seconde classe. 



Lorsque n est égal à 5, il y a 120 permutations. Sur ces 120 

 permutations, il y en a 28 de la première espèce et de la première 

 classe; 32 de la première espèce et de la seconde classe ; 32 de la 



