38 D. ANDRÉ. — SUR LE PARTAGE EN QUATRE GROUPES 



seconde espèce et de la première classe ; 28 enfin de la seconde 

 espèce et de la seconde classe. 



Lorsque n est égal à 6, il y a 720 permutations. Ces 720 permu- 

 tations se répartissent également entre les quatre groupes : chacun 

 d'eux en contient le quart de 720, c'est-à-dire 180. 



14. Dans tout ce qui va suivre, nous considérerons le système ou 

 tableau complet des permutations des n premiers nombres; et nous 

 désignerons par {n, 1, 1) le nombre de celles qui sont de la première 

 espèce et de la première classe; par (n, 1, 2) le nombre de celles 

 qui sont de la première espèce et de la seconde classe; et ainsi de 

 suite. 



De plus, très souvent, pour abréger les énoncés, au lieu de dire 

 le tableau complet des permutations des n premiers nombres, nous 

 dirons simplement le tableau des permutations ; au lieu de dire que 

 ce tableau est partagé en quatre groupes par la double considération 

 des espèces et des classes, nous dirons simplement qu'il est partagé en 

 quatre groupes. 



IV. — Relations entre les quatre groupes. 



15. Reprenons le système ou tableau complet des permutations 

 des ?ipremiers nombres. Comme nous l'avons rappeléplushaut(ll) : 

 pour toutes les valeurs possibles de n, il y a, dans ce tableau, au- 

 tant de permutations de la seconde classe qu'il y en a de la pre- 

 mière ; pour toutes les valeurs de n égales ou supérieures à 4, il y 

 en a autant de la seconde espèce qu'il y en a de la première. 



Or, ces deux propositions se traduisent immédiatement par ces 



deux égalités. 



{n, 1. 1) + {n, 2, 1) = [n, 1, 2) + {n, 2, 2), 

 (n, 1, 1) + {n, 1, 2) = {n, % 1) + [n, 2, 2), 



qui sont vraies l'une et l'autre dès que n dépasse 3, et qui nous 



donnent : 



par addition, 



par soustraction, 



(n, 1. l) = (îi, 2, 2); 



(H, 2, l) = (n, 1, 2). 

 Nous pouvons donc énoncer ce théorème : 



Théorème. — Si n est égal ou supérieur à 4, et que le tableau des 

 permutations des n premiers nombres soit partagé en quatre groupes 

 par la double considération des espèces et des classes : 



Deux quelconques de ces groupes, qui diffèrent l'un de Vautre par 



