DES PERMUTATIONS DES 11 PREMIERS NOMBRES 39 



l'espèce et la classe, contiennent toujours le même nonihre de permuta- 

 tions ; 

 En d'autres termes, on a les deux égalités 

 (n, 1, 1) = {n, 2, 2), 



{n, 2, 1) = (n, 1, 2). 



16. Il est aisé d'établir d'une autre façon, pour toutes les valeurs 

 de n égales ou supérieures à 4, le théorème que nous venons de 

 démontrer. 



Considérons, en effet, toutes les permutations des n premiers 

 nombres, n étant égal ou supérieur à 4. Prenons l'une quelconque 

 de ces permutations et échangeons entre eux ses deux premiers 

 éléments. Nous obtenons une seconde permutation qui, par la 

 même opération, redonnerait la première. Ces deux permutations 

 peuvent donc être regardées comme conjuguées, et le système 

 entier des permutations comme composé de couples de permuta- 

 tions ainsi conjuguées. 



Or, quand ou échange entre eux les deux premiers éléments 

 d'une permutation et que n est au moins égal à 4, cette permutation 

 change de classe; et aussi, évidemment, change d'espèce. Donc les 

 permutations de la première espèce et de la première classe sont 

 conjuguées chacune à chacune des permutations de la seconde 

 espèce et de la seconde classe ; donc ces permutations sont en même 

 nombre; en d'autres termes, 



{n, 1, 1) = (?i, 2, 2). 



De même, les permutations de la première espèce et de la seconde 

 classe sont conjuguées chacune à chacune des permutations de la 

 seconde espèce et delà première classe; donc ces permutations sont 

 en même nombre ; en d'autres termes, 



{n, 2, 1) =-- (n, 1, 2). 



Et notre théorème se trouve ainsi établi. 



17. Il résulte évidemment, de ce second mode de démonstration, 

 une sorte de correspondance entre les permutations d'un groupe 

 quelconque et celles du groupe qui diffère de celui-là par l'espèce 

 et la classe : ces permutations sont, d'une certaine façon, conju- 

 guées deux à deux. 



18. D'ailleurs, cette seconde démonstration suppose, comme la 

 première, que n soit an moins égal à 4. Pour les valeurs inférieures 

 de n, nous savons, par ce que nous avons vu déjà (13), que le 

 théorème ne subsiste plus. 



