40 D. ANDRÉ. — SUR LE PARTAGE EN QUATRE GROUPES 



V. — Autres relations entre les quatre groupes. 



19. D'après les propriétés que nous avons rappelées en compa- 

 rant les espèces et les classes (11), le système ou tableau complet 

 des permutations des n premiers nombres, n étant égal ou supé- 

 rieur à 4, peut être partagé en deux moitiés de deux manières 

 différentes : par la considération des classes ; par la considération 

 des espèces. 



20. Supposons que ce tableau complet ait été partagé en deux 

 moitiés par la considération des espèces : chaque permutation delà 

 première moitié du tableau contient un nombre pair de séquences ; 

 chaque permutation de la seconde en contient un nombre impair. 



Considérons une permutation quelconque de la première moitié. 

 Si nous supposons n égal ou supérieur à 6, elle présente certaine- 

 ment deux éléments au moins entre ses deux éléments initiaux et 

 ses deux éléments terminaux. Prenons le premier et le second de 

 ces éléments intermédiaires et échangeons-les entre eux : la classe 

 change; mais, évidemment, l'espèce ne change point. Nous obte- 

 nons donc une nouvelle permutation, encore delà première espèce; 

 et cette nouvelle permutation reproduit à son tour la précédente, si 

 nous y échangeons les deux mêmes éléments intermédiaires. Ces 

 deux permutations sont donc conjuguées; et, puisqu'on peut opérer 

 de même sur toutes les permutations de la première espèce, la pre- 

 mière moitié du tableau peut être regardée comme formée de 

 couples de permutations ainsi conjuguées. Mais, dans chacun de 

 ces couples, les deux permutations sont de classes différentes. Donc, 

 parmi les permutations de la première espèce, il y en a autant de 

 la seconde classe qu'il y en a de la première. 



En raisonnant de même sur les permutations de la seconde 

 espèce^ vC'est-à-dire sur les permutations qui forment la seconde 

 moitié du tableau, on trouve aussi que, parmi elles, il y en a autant 

 de la seconde classe qu'il y en a de la première. 



21. Par le procédé que nous venons d'employer, nous avons 

 partagé le système ou tableau complet des permutations des n pre- 

 miers nombres en quatre groupes. Ces groupes sont précisément 

 ceux que nous étudions dans le présent travail. Les raisonnements 

 qui précèdent nous prouvent que, dès que n atteint ou dépasse 6, 

 ces quatre groupes contiennent tous le même nombre de permu- 

 tations. Donc, nous pouvons énoncer le théorème suivant : 



Théorème. — Si n est égal ou supérieur à 6, et que le tableau des 



