42 D. ANDRÉ. — SUR LE PARTAGE EN QUATRE GROUPES 



II. — De l'espèce et de la classe de deux permutations inverses 

 ou symétriques. 



27. Evidemment, deux permutations inverses l'une de l'autre 

 présentent toujours le même nombre de séquences et, par consé- 

 quent, appartiennent toujours à la même espèce. 



Il en est de même de deux permutations symétriques l'une de 

 l'autre. 

 Donc nous pouvons énoncer ce théorème : 



Théorème. — L'espèce ne change jamais quand on passe d'une 

 permutation donnée quelconque soit à la permutation inverse, soit à la 

 permutation symétrique. 



28. Pour savoir si, dans ce passage, la classe change ou ne change 

 pas, cherchons la relation qui existe entre les nombres de dérange- 

 ments d'abord de deux permutations inverses, ensuite de deux 

 permutations symétriques. 



29. Considérons deux permutations inverses l'une de l'autre et 

 prenons-y deux éléments quelconques. Ces deux éléments se 

 présentent en ordres inverses dans les deux permutations. Donc 

 ils forment un dérangement dans l'une et n'en forment pas dans 

 l'autre. Donc tout couple de deux éléments apporte juste une unité 

 dans la somme des nombres de dérangements des deux permuta- 

 tions. Donc cette somme est égale au nombre des manières dont on 

 peut prendre deux éléments parmi les n éléments donnés, c'est-à- 

 dire à ■ '^ . Donc les deux permutations inverses considérées sont 



de même classe ou de classes différentes, suivant que ^ "" ^ est 

 pair ou impair. 



30. Considérons maintenant deux permutations symétriques l'une 

 de l'autre, et choisissons deux places quelconques parmi celles 

 qu'occupent les n éléments. Les deux éléments qui occupent 

 ces deux places dans la première permutation et ceux qui occupent 

 ces deux mêmes places dans la seconde sont évidemment tels 

 que, si les premiers forment un dérangement, les seconds n'en forment 

 point, et réciproquement. Par conséquent, à ce choix de deux 

 places correspond juste une unité dans la somme des nombres de 

 dérangements des deux permutations. Donc, cette somme est égale 

 au nombre des manières dont on peut choisir deux places parmi 

 les n places considérées, c'est-à-dire à !!_j!!_zlL. Donc les deux 



