DES PERMUTATIONS DES U PREMIERS NOMBRES 43 



permutations symétriques considérées sont de même classe ou de 

 classes différentes, suivant que — "'~ ^ est pair ou impair. 



31. Si l'on remarque que ^~ ^ est pair, lorsque n est de 



l'une des formes 4v ou 4v + 1 ; qu'il est impair, lorsque n est de 

 l'une des formes 4v + 2 ou 4v + 3, on voit que les résultats qui 

 précèdent sont tous les deux contenus dans ce théorème : 



Théorème. — Etant donnée une permutation quelconque des n pre- 

 miers nombres, lorsque l'on passe de cette permutation soit à son 

 inverse, soit à sa symétrique : 



La classe ne change point, lorsque n est de l'une des formes 4v ou 

 4v + 1 ; 



Elle change, au contraire, lorsque n est de l'une des formes 4v + 2 

 ou 4v + 3. 



32. D'ailleurs, tout ce qu'on vient de voir sur les permutations 

 soit inverses, soit symétriques, est indépendant de la grandeur de n. 



III. — Nouvelles relations entre les quatre groupes. 



33. Du théorème qui précède (31), touchant la classe de deux 

 permutations inverses ou symétriques, résulte immédiatement une 

 différence profonde entre le tableau des permutations des n pre- 

 miers nombres dans le cas où n est de l'une des formes 4v ou 

 4v + 1, et le tableau de ces mêmes permutations dans le cas où n 

 est de l'une des formes 4v -f 2 ou 4v -f- 3. 



34. Pour bien montrer cette différence, considérons le système 

 ou tableau complet des permutations des n premiers nombres. Ce 

 tableau, comme nous l'avons vu (12), peut, quel que soit n, être 

 partagé en quatre groupes par la double considération des espèces 

 et des classes. Ce partage effectué, il ne nous reste plus qu'à 

 étudier, sur le tableau même, les deux cas correspondant aux diffé- 

 rentes formes de n. 



35. Supposons d'abord w de l'une des formes 4v ou 4v + 1. 

 Alors deux permutations inverses l'une de l'autre appartiennent 

 (31) à la même classe; deux permutations symétriques l'une de 

 l'autre appartiennent (31) aussi à la même classe ; et comme, d'ail- 

 leurs, deux permutations soit inverses, soit symétriques sont 

 toujours (27) de la même espèce, nous pouvons énoncer ce théorème : 



Théorème. — Quelque grand ou petit que soit n, s'il est de l'une des 

 formes 4v ou 4v + 1, et que le tableau des permutations soit partagé 

 en quatre groupes : 



