44 D. ANDRÉ. — SUR LE PARTAGE EN QUATRE GROUPES 



Une permutation quelconque, son inverse et sa sijmétrique appar- 

 tiennent toujours au même groupe ; 



En d'autres termes, les permutations qui composent un même 

 groupe quelconque du tableau sont deux à deux inverses et deux à 

 deux symétriques l'une à l'autre. 



36. Supposons, au contraire, n de l'une des formes 4v + 2 ou 

 4v + 3. Alors deux permutations soit inverses, soit symétriques 

 l'une de l'autre, sont (31) de classes différentes. Comme, d'ailleurs, 

 ces deux permutations sont toujours (27) de la même espèce, nous 

 pouvons énoncer ce nouveau théorème : 



Théorème. — Quelque grand ou petit que soit n, s'il est Vune des 

 formes 4v -\- 2 ou ^^ + 3, et que le tableau des permutations soit par- 

 tagé en quatre groupes : 



Une permutation quelconque et son inverse, une pennutation quel- 

 conque et sa symétrique appartiennent toujours aux deux groupes dif- 

 férents qui répondent à une même espèce. 



En d'autres termes, les permutations composant l'un quelconque 

 de ces deux groupes, sont chacune à chacune les inverses, chacune à 

 chacune les si/métriques des permutations qui composent l'autre. 



37. Ces deux derniers théorèmes mettent nettement en évidence 

 la différence dont nous avons parlé (33). Déplus, ils établissent, 

 entre les quatre groupes du tableau, des relations nouvelles; et ces 

 relations, contrairement à ce qui a lieu pour celles qu'on a déjà 

 vues (15 et 21), subsistent quel que grand ou petit que soit n. 



CHAPITRE III 



PERMUTATIONS ORDINAIRES ET PERMUTATIONS SINGULIÈRES 



I. — Définitions 



38. En général, une permutation des w premiers nombres étant 

 donnée, son inverse et sa symétrique sont deux permutations 

 différentes. C'est ce qui arrive, par exemple, pour la permutation 



13 5 7 4 6 2 

 dont l'inverse est la permutation . 



2 6 4 7 5 3 1 

 et dont la symétrique est la permutation 



7 5 3 14 2 6. 



