DES PERMUTATIONS DES 71 PREMIERS NOMBRES 45 



39. Mais il peut arriver que la permutation donnée soit telle que 

 son inverse et sa symétrique ne forment qu'une seule et môme per- 

 mutation. Comme exemple de ce cas exceptionnel, nous pouvons 

 citer la permutation 



2 3 7 4 15 6 

 qui a pour inverse, comme pour symétrique, la permutation 



6 5 14 7 3 2 



40. Les permutations dont l'inverse et la symétrique coïncident 

 seront pour nous les permutations singulières. Celles dont l'inverse 

 et la symétrique ne coïncident pas seroniles permutations ordinaires. 



41. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une 

 permutation des n premiers nombres soit une permutation sin- 

 gulière? 



Pour le savoir, prenons une permutation quelconque des n pre- 

 miers nombres, considérons celui, d, de ses éléments qui en a h 

 avant lui, et celui, q, qui en a h après lui. 



Dans l'inverse de cette permutation, l'élément qui en a h avant 

 lui est le nombre q. Dans la symétrique, l'élément qui en ah avant 

 lui est le nombre îi + 1 — d. Donc, pour que la permutation inverse 

 et la permutation symétrique coïncident, il faut et il suffit que l'on 

 ait, quel que soit h 



n + 1 — d = q, 

 c'est-à-dire 



d + q = n + i. 



De là ce théorème : 



Théorème. — Pour qu'une permutation des n premiers nombres soit 

 une permutation singulière, il faut et il suffit que, dans cette permuta- 

 tion, la somme de deux éléments équidistants des extrêmes soit cons- 

 tamment égale à n + 1. 



IL — Nombre des permutations soit singulières, soit ordinaires. 



42. Connaissant la condition nécessaire et suffisante pour qu'une 

 permutation soit singulière, nous pouvons facilement calculer le 

 nombre I.n des permutations singulières des n premiers nombres. 



43. Supposons d'abord n pair et égal à 2e. 



Toute permutation singulière est déterminée dès qu'on en con- 

 naît la première moitié, c'est-à-dire les e premiers éléments. Pour 

 savoir de combien de manières on peut former le système de ces e 

 premiers éléments, considérons les 2e premiers nombres, et asso- 

 cions-les deux à deux de façon que les deux éléments d'un même 



