46 D, ANDRÉ. — SUR LE PARTAGE EN QUATRE GROUPES 



groupe aient toujours 2e + 1 pour somme. Nous obtenons ainsi e 

 couples, que nous pouvons disposer, les uns à la suite des autres, 

 d'autant de manières différentes qu'il y a de permutations de e 

 objets distincts, c'est-à-dire d'un nombre de manières égal à e!. Si 

 nous considérons l'une quelconque de ces dispositions, nous pou- 

 vons d'ailleurs prendre, dans chacun de ses e couples, celui que 

 nous voulons des deux éléments qui le composent. Donc chaque 

 disposition des e couples nous donne 2" systèmes de e éléments. 

 Donc le nombre des systèmes de e éléments pouvant former chacun 

 la première moitié d'une permutation singulière est égal à e! 2^. 

 Donc le nombre de ces permutations est aussi égal à e ! 2^. 



44. Supposons maintenant n impair et égal à 2 g + 1 . 



Il y a évidemment alors, dans chacune des permutations singu- 

 lières, un élément placé au milieu ; et cet élément est forcément 

 égal à e -f 1. Pour que la permutation soit déterminée, il suffit donc 

 qu'on en détermine les e premiers éléments. Partant de là, et rai- 

 sonnant c(mime on vient de le faire, on trouve que, dans ce second 

 cas, le nombre des permutations singulières est encore égal àe! 2*. 



45. Ces deux résultats sont évidemment contenus dans ce 

 théorème unique : 



Théorème. — Le nombre ^n des permutations singulières des n 

 'premiers nombres est donné par la formule 



l=el2' 



oà e désigne la partie entière du quotient de n par 2. 



46. Connaissant (1) le nombre des permutations singulières des n 

 premiers nombres, nous pouvons obtenir immédiatement le nombre 

 Un des permutations ordinaires de ces mêmes n premiers nombres. 

 Il est évidemment égal à l'excès du pombre total des permutations 

 sur le nombre des permutations singulières, c'est-à-dire que 



iln = n\ — e! 2', 

 e désignant toujours la partie entière du quotient de n par 2. 



(1) Dans un livre paru récemment (Théorie des nombres, tome premier), l'au- 

 teur, M. Edouard Lucas, se propose, à titre d'exercice, de calculer le nombre des 

 permutations dont les termes équidistants des extrêmes ont une somme cons- 

 tante,. Ces permutations, d'après ce que nous savons, ne sont autres choses que 

 nos permutations singulières. Par une méthode très difïérente de la nôtre, et qui 

 repose sur un mode particulier de représentation des permutations, M. Edouard 

 Lucas arrive au résultat même que nous venons d'énoncer. 



