DES PERMUTATIONS DES H PREMIERS NOMBRES 47 



III. — Questions de probabilité. 



47. Quelle est la probabilité pour qu'une permutation, prise au 

 hasard parmi les permutations des n premiers nombres, soit une 

 permutation singulière, c'est-à-dire une permutation dont l'inverse 

 et la symétrique coïncident ? 



48. Si 11 est pair et égal à 2 e, le nombre des cas possibles est 

 (2 e)!; la probabilité est 



ei ^' r 



(27)!' °" (e+l)(e + 2) (e+c)' 



et cette expression, d'après une propriété bien connue de son dé- 

 nominateur, se réduit à 



1 



1.3.5 (2e — 1) ■ 



49. Si n est impair et égal à 2 e f 1, le nombre des cas possibles 

 est (2e + 1) ! ; le nombre des cas favorables est e ! 2^; la probabilité 

 est 



e! 2« 2« 



(2e + i)! ' ^" (c+l)(e + 2) (2 + e + l^ ' 



et cette expression, d'après la même propriété, se réduit à 



1 



1.3.5 (2e+l)' 



50. Ces deux résultats se résument dans cet énoncé unique : 

 Théorème. — La probabilité -k pour qu'une permutation, prise au 



hasard parmi les permutations des n premiers nombres, soit une per- 

 mutation singulière, est donnée par la formule 



1 



"" - 1.3.5 i ' 



où i désigne le plus grand nombre impair non supérieur à n. 



51. On peut remarquer : que cette probabilité est égale à 1, 

 lorsque n est égal à 2 ; qu'elle ne change point quand on passe d'une 

 valeur impaire quelconque de n à la valeur paire qui suit immé- 

 diatement; enfin, qu'elle tend très vite vers zéro, lorsque ?^ croit 

 indéfiniment. 



52. Quant à la probabilité pour qu'une permutation, prise au 

 hasard parmi les permutations des n premiers nombres, soit une 

 permutation ordinaire, il est inutile de la chercher directement : 

 elle est évidemment égale à l'excès de l'unité sur la probabilité 

 qu'on vient de trouver, c'est-à-dire à 1 — tt. 



