48 D, ANDRÉ. — SUR LE PARTAGE EN QUATRE GROUPES 



IV. — Répartition des permutations entre les quatre groupes. 



53. Reprenons encore le tableau complet des permutations des n 

 premiers nombres, et supposons-le partagé en quatre groupes, par 

 la double considération des espèces et des classes. Nous pouvons 

 nous demander de quelle façon les permutations singulières, de 

 quelle façon les permutations ordinaires se répartissent entre ces 

 quatre groupes. 



54. Si l'on forme les permutations singulières des n premiers 

 nombres, dans les cas qui correspondent aux plus petites valeurs 

 de n, on trouve directement les résultats que voici : 



Lorsque n est égal soit à 2, soit à 3, il y a deux permutations 

 singulières : l'une est de la seconde espèce et de la première classe; 

 l'autre, de la seconde espèce et de la seconde classe ; 



Lorsque n est égal soit à 4, soit à 5, il y a 8 permutations singu- 

 lières : 4 sont de la seconde espèce et de la première classe; 4, de 

 la seconde espèce et de la seconde classe ; 



Lorsque n est égal soit à 6, soit à 7, il y a 48 permutations sin- 

 gulières : 24 sont de la seconde espèce et de la première classe ; 24, 

 de la seconde espèce et de la seconde classe. 



55. Pour trouver ce qui a lieu en général, nous allons étudier les 

 permutations singulières, en nous occupant : d'abord, de l'espèce; 

 ensuite, de la classe. 



56. Supposons n égal ou supérieur à 4, et considérons une per- 

 mutation singulière quelconque. Cette permutation singulière peut 

 se mettre évidemment sous la forme. 



a b M st , 

 si l'on en désigne par a et b les deux éléments initiaux, par s et t 

 les deux éléments terminaux, et par M l'ensemble, qui, d'aillewrs, 

 peut manquer, des éléments intermédiaires. 



Puisque cette permutation est singulière, deux quelconques de 

 ses éléments, placés à égales distances des extrêmes, ont toujours 

 leur somme égale à )i + 1. Donc 



a -^ t = n + i, 



b + s = n + l; 

 par suite 



a + t = b -{• s; 

 et, finalement, 



a — b = s — t. 



Cette dernière égalité nous montre que les différences a — b, 

 s — t sont toujours de même signe. Par conséquent, dans cette 



