DES PERMUTATIONS DES n PREMIERS NOMBRES 49 



permutation, les séquences extrêmes sont de même sens ; cette 

 permutation a un nombre impair de séquences : elle appartient à 

 la seconde espèce. 



Ce raisonnement suppose n égal ou supérieure à 4. Mais, d'après 

 ce qui précède (54), lorsque n est égal soit à 2, soit à 3, les permu- 

 tations singulières sont aussi toutes de la seconde espèce. Donc 

 nous pouvons énoncer ce théorème : 



Théorème. — Quel que soit n, les permutations singulières des n 

 premiers nombres appartiennent toutes à la seconde espèce. 



57. Considérons maintenant une permutation singulière, quel- 

 conque d'ailleurs, des n premiers nombres, et occupons-nous de sa 

 classe. 



Quel que soit n, puisque cette permutation est singulière, deux 

 quelconques de ses éléments, situés à égales distances des extrêmes, 

 ont leur somme égale k n + 1. Cela a lieu, en particulier, pour le 

 premier et le dernier élément de cette permutation. Prenons ces 

 deux éléments extrêmes, et, sans touchera aucun des autres, échan- 

 geons-les entre eux. Nous obtenons par cet échange une permuta- 

 tion nouvelle, qui est encore une permutation singulière, et qui, 

 par la même opération, redonnerait la permutation primitive. Ces 

 deux permutations singulières sont donc conjuguées l'une de 

 l'autre ; et le système entier des permutations singulières est donc 

 composé de couples de permutations singulières ainsi conjuguées. 



Or, les deux permutations singulières qui forment l'un quel- 

 conque de ces couples ne diffèrent l'une de l'autre que par l'échange 

 de deux éléments. Donc elles sont toujours de classes différentes. 

 Donc les permutations singulières de la première classe sont conju- 

 guées chacune à chacune des permutations singulières delà seconde. 

 Donc ces permutations sont en même nombre. De là ce théorème : 



Théorème. — Quel que soit n, parmi les permutations singulières 

 des n premiers nombres, il y en a autant de la seconde classe qu'il ij en 

 a de la première. 



58. Si nous rapprochons l'un de l'autre les deux théorèmes que 

 nous venons d'établir, nous arrivons immédiatement à ce nouveau 

 théorème : 



Théorème. — Quel que soit n, parmi les permutations singulières des 

 n premiers nombres, il y en a : 



Une moitié) qui sont de la seconde espèce et de la première classe; 

 Une moitié, qui sont de la seconde espèce et de la seconde classe. 



59. On voit ainsi, immédiatement, de quelle manière les permu- 



