52 D. ANDRÉ. — SUR LE PARTAGE EN QUATRE GROUPES 



66. Deux permutations opposées entre elles possèdent d'ailleurs 

 toujours les propriétés très simples que nous allons énoncer. 



69. Théorème. ~ Deux permulations opposées entre elles sont tou- 

 jours de la même espèce. 



Soient, en effet, dans l'assemblage considéré plus haut (64), les 

 deux permutations A et B', qui sont opposées entre elles. Puisque 

 A est l'inverse de B, elle est (27) de même espèce que B. Puisque 

 B' est la symétrique de B, elle est (27) de même espèce que B. Donc 

 A et B' appartiennent à la môme espèce. 



68. Théorème. — Deux permutations opposées entre elles sont tou- 

 jours de la même classe. 



Soient, en effet, les deux mêmes permutations opposées A et B'. 

 Si n est de l'une des formes 4v ou 4v -\-i, elles sont (31) toutes 

 deux de la classe de B. Si n est de l'une des formes 4v + 2 ou 

 4 V + 3, elles sont toutes deux de la classe dont B n'est pas. 



69. Théorème. — Deux permutations opposées entre elles appar- 

 tiennent toujours au même groupe. 



En effet, d'après ce qu'on vient de voir, ces permutations appar- 

 tiennent toutes les deux à la même espèce et toutes les deux à la 

 même classe. 



III. — Nombre et espèce des assemblages. 



70. D'après ce qui précède (63), le tableau complet des permuta- 

 tions des n premiers nombres peut être regardé comme composé 

 d'assemblages ordinaires et d'assemblages singuliers. Nous allons 

 chercher combien il y a d'assemblages singuliers ; combien il y a 

 d'assemblages ordinaires; et, parmi ces divers assemblages, combien 

 il y en a de chaque espèce. 



71. Le nombre des assemblages singuliers est évidemment la 

 moitié du nombre des permutations singulières : il est donc (45) 

 égal à la moitié du produit e ! 2^, la lettre e désignant toujours la 

 partie entière du quotient de n par 2. 



Le nombre des assemblages ordinaires est évidemment égal au 

 quart du nombre des permutations ordinaires, c'est-à-dire au quart 

 de l'excès du nombre total des permutations sur le nombre des 

 permutations singulières. 



De là ce théorème : 



Théorème. — Le nombre on des assemblages singuliers et le nombre 

 ton des assemblages ordinaires des permutations des n premiers nombres 

 sont donnés par les deux jormules 



