54 D. ANDRÉ. — SUR LE PARTAGE EN QUATRE GROUPES 



espèce, et par o)",» le nombre des assemblages ordinaires de la seconde 

 espèce, on a : 



, _ m 



^n g-, 



o 



la lettre e conservant toujours la signification que nous lui avons déjà 

 donnée. 



11. On peut remarquer : d'abord que w',» est toujours supérieur à 

 oi"n ; ensuite, que la démonstration précédente suppose essentielle- 

 ment que n soit au moins égal à 4. 



Lorsque n est égal soit à 2, soit à 3, les formules trouvées ne 

 subsistent plus. D'ailleurs, on peut le voir directement : il n'y a 

 aucun assemblage ordinaire dans le cas où n est égal à 2; et il n'y 

 en a qu'un, qui appartient à la première espèce, dans le cas où n 

 est égal à 3. 



IV. — Répartition des assemblages entre les quatre groupes. 



78. Après tout ce qui précède, la question de la répartition des 

 assemblages entre les quatre groupes ne présente, pour ainsi dire, 

 plus de difficulté. Pour l'étudier, nous distinguerons deux cas : 

 celui où n est de l'une des formes 4v ou 4v +1 ; celui où n est de 

 de l'une des formes 4v ■+ 2 ou 4v + 3. Nous commencerons par 

 celui-ci. 



79. Quelle que soit la grandeur de n, nous avons (36) vu que, 

 quand il est de l'une des formes 4v 4- 2 ou 4v + 3, deux permuta- 

 tions soit inverses, soit symétriques sont toujours de classes diffé- 

 rentes. Or, les permutations d'un assemblage quelconque, ordinaire 

 ou singulier, sont toujours (61) deux à deux inverses et deux à deux 

 symétriques. De plus, elles sont (73) toujours toutes de la même 

 espèce. Donc : 



Théorème. — Quelque grand ou petit que soit n, s'il est de l'une des 

 formes 4v+ 2 ou 4v -f 3, et que le tableau des permutations soit par- 

 tagé en quatre groupes : 



Les permutations d'un assemblage quelconque, soit ordinaire, soit 

 singulier, se répartissent également entre les deux groupes de même 

 espèce que l'assemblage ; 



En d'autres termes, la moitié des permutations de cet assemblage 

 appartiennent à l'un de ces deux groupes; l'autre moitié, à l'autre. 



