28 G. KOENIGS. — GÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES 



et il suffît de faire la transformation x' = y' x, y' = y^ y, z' == ^/ z 

 pour retrouver le théorème de Beltrami. 



L'introduction des réseaux tangentiels de coniques est donc en 

 corrélation parfaite avec les recherches de Beltrami et constitue 

 une véritable extension des résultats de cet illustre géomètre. 



SUR LES TRAJECTOIRES MÉCANIQUES DÉFINIES PAR LEURS TANGENTES, 

 par M. G. KŒNIGS. 



1. Soit 2 T la force vive d'un système matériel, U la fonction de 



forces, on sait qu'en posant H = T — U les équations différentielles 



du mouvement reçoivent la forme 



dqi dH dpi dH 



^ ' "dT ~ dpT' "dT ~ "IqT 



Jacobi a montré, comme on sait, que l'on peut conserver à ces 



équations la forme canonique en substituant aux variables p, q, les 



variables b, a, définies par les équations 



/«^ dS ^ dS 



('-^ d^^-^^' dïT ^P^' 



où S est une fonction quelconque de t, de qi , qa . . qn et des n 



quantités ai , a2 . . an . Il se trouve qu'en posant 



ri, ^ K ^ dS , „ / dS dS \ 



G(t,a, ..a„.bi,..b„)=-^- + H(^t,qi,..qn,^,..-^), 



les équations du mouvement, rapportées aux variables ai , bi , sont 

 les suivantes : 



dai _ _dG_ ^dbi_ _ _ jdG_ 

 ^ ' dt ~" dbi ' dt "" dai * 



C'est ainsi, par exemple, que si S vérifie l'équation G = o on 

 trouve que les intégrales du mouvement sont ai = const., bi := 

 const., ce qui constitue le premier théorème de Jacobi. 



On connaît les belles applications de la remarque de Jacobi; 

 l'application suivante fait dépendre d'un système canonique la 

 détermination en coordonnées tangentielles des trajectoires d'un 

 point matériel. On peut du reste raisonner dans un cas plus général. 



