G. KOENIGS. — GÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES 27 



linéaire, trois intégrales quadratiques en dehors de celle des forces 

 vives. 



Mais il y a plus, ces ds^ se prêtent à une belle extension du théo- 

 rème de Beltrami ; ils conviennent tous, en effet, à (les surfaces 

 représentahles géodésiquement l'une sur l'autre. 



Dans son beau mémoire sur les lignes géodésiques, M. Sophus 

 Lie a passé très près de ce théorème dont il a démontré toutes les 

 parties sauf une, omission qui ne lui a pas permis d'arriver à 

 l'énoncé parfait. (Mathematische Annalen, t. 20). 



3. J'ajoute que, en ce qui concerne les transformations infinitési- 

 males des géodésiques, les ds^ à courbure constante sont les seuls 

 qui admettent plus de trois transformations infinitésimales dis- 

 tinctes pour leurs géodésiques (il y a 8 transformations). 



Enfin les ds^ de révolution de M. Darboux sont les seuls qui 

 puissent admettre trois transformations infinitésimales pour leurs 

 géodésiques. Une de ces transformations est toujours conforme, 

 c'est-à-dire, qu'elle conserve les lignes de longueur nulle ; elle 

 correspond à une rotation infiniment petite, autour de son axe, de 

 la surface de révolution sur laquelle sont applicables toutes les 

 surfaces qui admettent un ds^ de cette espèce. 



Tous ces résultats, nouveaux en eux-mêmes, concernent des ds^ 

 déjà connus et en constituent seulement des propriétés nouvelles. 



Les résultats qui me restent à résumer concernent les ds'^ qui 

 admettent seulement deux intégrales quadratiques pour leurs lignes 

 géodésiques, ou bien ceux qui admettent pour leurs géodésiques 

 une ou deux transformations infinitésimales. 



4. En ce qui concerne les ds^ qui admettent deux intégrales quadra- 

 tiques de leurs géodésiques, je signalerai seulement dans cette pre- 

 mière communication une de leurs plus curieuses propriétés. On 

 peut représenter point par point la surface sur un plan de sorte que 

 les géodésiques de la surface aient pour images les coniques d'un 

 réseau tangentiel. Si les coniques du réseau touchent deux droites 

 fixes (distinctes ou non) le ds^ est de révolution à courbure varia- 

 ble, il admet trois intégrales quadratiques pour ses géodésiques. 



Si les coniques du réseau touchent trois droits fixes (distinctes ou 

 non) le ds^ a sa courbure constante. 



Ce dernier tiiéorème comprend celui de M. Beltrami, d'après 

 lequel on peut représenter les géodésiques d'une surface à courbure 

 constante sur un plyn par les droites de ce plan. En effet, en coor- 

 données triangulaires, x, y, z les coniques inscrits dans le triangle 

 de référence ont pour équation 



