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Séance du 26 Novembre 1892 



PRÉSIDENCE DE M. BOUTY 



SUR LES GÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES 

 par M. G. KŒNIGS. 



Dans un mémoire (1) étendu qui paraîtra prochainement, j'ai 

 résolu complètement la question de trouver tous les problèmes de 

 géodésiques qui admettent plusieurs intégrales quadratiques par 

 rapport aux vitesses; j'ai également résolu le problème incomplè- 

 tement traité par M. Lie des géodésiques à transformations infini- 

 tésimales. Je voudrais dans cette première communication résumer 

 quelques faits concernant des ds'^ déjà connus, mais qui avaient 

 échappé jusqu'ici aux géomètres. 



1. Je prouve d'abord que si un ds^ admet pour ses géodésiques plus 

 de trois intégrales quadratiques en dehors de celle des forces vives, 

 il en possède exactement cinq et a une courbature constante. 



Conformément au beau théorème de Beltrami, tous ces ds^ con- 

 viennent à des surfaces représentables géodésiquement l'une sur 

 l'autre ; c'est-à-dire qu'on peut faire se correspondre deux quel- 

 conques de ces surfaces point par point de telle manière que les 

 images des géodésiques de l'une soient des géodésiques sur l'autre. 



2. Il n'y a pas de ds2 dont les géodésiques possèdent exactement 

 quatre intégrales quadratiques en dehors de celle des forces vives. 

 Mais il y en a qui admettent exactement trois pareilles intégrales. 

 Ces ds- sont bien connus, ce sont les ds^ de révolution à intégrales 

 quadratiques déterminés par M. Darboux au tome III de ses 

 Leçons. Notre théorème n'est donc, on le voit, qu'une réciproque 

 de celui de M. Darboux, en vertu duquel, si un ds- de révolution 

 admet une intégrale quadratique en outre de celle des forces vives 

 et en outre du carré de son intégrale linéaire, il en admet aussitôt 

 une seconde, ce qui fait, en y comprenant le carré de l'intégrale 



(1) Les méthodes el les résultais contenus dans ce mémoire ont été déposés sous 

 l)li cacheté a Tlnstitut dans sa séance du 26 janvier 1891. II laut cependant en excepter 

 ce qui concerne le problème de M, Lie. 



