196 G. KONIGS. — COMMUNICATION SUR LES COURBES TAUTOCHRONES 



qu'il faut trouver l'intégrale générale de l'équation aux dérivées 

 partielles 



= 



,^YdH dH dH'\ T/dH \2^/dH\2^./dH\2 1/ , \ 

 (^)^d^P + dy-^^-d^j-|(7î^) + U-)+vlîz-)-lJ(P^+q^^ 



et prendre sur cette intégrale générale l'enveloppe des caracté- 

 ristiques. 



Les surfaces intégrales de (3) jouissent de la propriété que les 

 surfaces de niveau V = const. y découpent des lignes parallèles. 

 Les géodésiqoes orthogonales à ces lignes sont précisément les 

 caractéristiques. Ce résultat est conforme à celui que M. Lie a 

 obtenu et d'après lequel les équations du type (3) admettent pour 

 caractéristiques des géodésiques. 



Si V ne dépend pas de z, alors l'équation (3) devient l'équation de 

 Jacobi, relative aux géodésiques de la surface 



\/-lH(x,y). 



On voit donc que d'une surface dont on connaît les géodésiques on 

 peut déduire la solution avec une fonction arbitraire d'un "problème de 

 géodésiques. 



La fonction de forces V=Ax2+2Bxy + Cy2+2Dx + 2Ey + F, 

 conduit, par exemple, aux géodésiques des quadriques. En parti- 

 culier, la pesanteur conduit aux géodésiques du cylindre parabo- 

 lique. 



(J'ai déjà énoncé le théorème précédent aux comptes-rendus, mais 

 une erreur d'impression y a substitué au mot fonction celui de 

 constante qui serait beaucoup trop restrictif). 



