2 SÉANCE DU 11 MARS 1893 



SUR LES COURBES ANHARMONIQUES, 

 par Ch. BIOCHE. 



Dans un mémoire inséré au tome III des Acta Mathematica, 

 M. Halphen a établi relativement aux équations différentielles du 

 quatrième ordre des théorèmes que j'énoncerai seulement sous 

 iurme géométrique. 



I. — Si une courbe est anharmonique, et si elle appartient par 

 ses tangentes à un complexe linéaire, elle est tracée sur une sur- 

 face du second degré. 



II. — Si une courbe est tracée sur une surface du second degré, 

 et si elle appartient par ses tangentes à un complexe linéaire, elle 

 est anharmonique. 



On peut se demander ce qui arrive lorsque une courbe anhar- 

 monique est tracée sur une surface du second degré; si cette 

 courbe appartenait à un complexe linéaire, toute courbe qui possé- 

 derait deux des propriétés suivantes : 



1° Etre tracée sur une surface du second degré ; 



2° Etre anharmonique ; 



3° Appartenir à un complexe linéaire, 

 posséderait aussi la troisième. De sorte qu'il y aurait une équiva- 

 lence entre trois problèmes. Or, voici les résultats que j'ai obtenus, 

 et qui montrent qu'il n'en est pas toujours ainsi. 



Si une courbe anharmonique est tracée sur une surface du 

 second degré, il peut se présenter différents cas. 



Premier cas. — La courbe est tracée sur une seule surface du 

 second degré, et cette surface n'est ni un cône, ni un cylindre. 

 Alors la courbe appartient à un complexe linéaire. 



Deuxième cas. — La courbe est tracée sur une seule surface du 

 second degré, et cette surface est un cône ou un cylindre. Alors la . 

 courbe ne peut appartenir à un complexe linéaire. 



Troisième cas. — La courbe est tracée sur deux surfaces du second 

 degré, et par suite sur une infinité de ces surfaces. La courbe peut 

 être une cubique gauche, elle appartient alors à un complexe 

 linéaire ; ou bien elle est une quartique et elle n'appartient à aucun 

 complexe linéaire. - 



