36 LAISANÏ. — PROPRIÉTÉS DU MOUVEMENT d'uNE FIGURE PLANE 



même point, les accélérations sont inversement proportionnelles 

 aux cubes des sinus des angles d'inclinaison de la droite mobile 

 AB sur Ox. En particulier, tous les points de la droite AB ont des 

 accélérations perpendiculaires à Ox, et proportionnelles aux dis- 

 tances qui séparent ces points du point A. 



La courbe roulante se déterminera en remarquant que l'origine 

 pour une position quelconque, est venue en a, et que l'angle de 



rotation totale est X = -^ 6 ; de sorte que l'équipoUence de la 



courbe cherchée, pour la position initiale, est 



-X 



P = £ (Q — a) =: £ V c2 — a2 f2 — c siii 6e. 



Cette courbe est donc une circonférence intérieure à la circonfé- 

 rence de base, et de rayon moitié moindre. 



7. — Une circonférence roule sur une circonférence fixe de même 

 rayon, et l'on considère la courbe fermée décrite pendant un tour 

 complet par un point de la circonférence mobile. Trouver le centre de 

 gravité de cette ligne, en supposant la densité en chaque point inver- 

 sement proportionnelle au rayon de courbure. 



Le centre de gravité d'un arc de courbe quelconque MoMi, la 



. . 1 . / V M rf s ^ . 



densité en chaque point étant [x, est donne par ^ — - — . Si ip re- 

 présente l'inclinaison de la tangente en un point quelconque, on a 

 le rayon de courbure p =-^ — . Donc, [i. étant inversement propor- 



tionnelle à p, la formule devient 



f M d f 



Or, revenons à l'épicycloïde proposée. Supposons que le mouve- 

 ment ait lieu uniformément, avec une vitesse angulaire égale à 

 l'unité, comme déplacement du point de contact sur la base, et 

 prenons pour point mobile celui qui, à l'origine, était opposé au 

 point de contact. Nous aurons pour une position quelconque de ce 

 point M : 



^ t , 2t 



M=zae-rat 



J^=2ai(^^ + ^^) = ^ai (sT+si)^! 

 Donc -^ + — représente l'angle <f d'inclinaison de la tangente, 

 ei d f = Y ^ ^- P^^ intégration, de à t^ , 



