SUR LA MORTALITÉ d'uNE COLLECTIVITÉ d'iNDIVIDUS 269 



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 Or — -V-r ïi'sst autre que le taux de mortalité à l'âge x. On 



peut admettre que, depuis l'âge de 15 ans, ce taux va à peu près cons- 

 tamment en croissant (*) ; par conséquent, cp(a7, 6) étant positif, tp'(a', 6) 

 est négatif. On le voit plus rigoureusement en convenant de ne pren- 

 dre pour 6 que des valeurs au moins égales h quelques années, 10 ans 

 par exemple ; alors on est absolument sûr que 



f'{x) f'{x-h^) 



c'est-à-dire que ^'{x, 0) est négatif. Donc 



est fonction décroissante de x. Il en résulte que, dans les limites con- 

 sidérées (a;> 10), à chaque valeur de cp(rr, 0), 6 étant donné, ne cor- 

 respond qu'une valeur de x. L'équation (2) détermine une valeur de 

 M, qui est alors égale à c?(^,e), \ étant un âge compris entre x^ et a?„, 

 mais qui peut varier avec 6. Par conséquent : 



Le nombre des survivants au bout du temps 6 dans la collectivité 

 considérée peut être calculé, dès que x^ ^ 15 ans^ comme si tous les 

 individus avaient un même âge ^, ^ étant une fonction de 6. 



Cet âge ^, quand on connaît ki,h, . . . , k" et la loi de mortalité de 

 la collectivité, pourra être calculé directement parla formule ('2). Or 

 la forme des courbes de mortalité usuelles est telle que l'on peut énon- 

 cer le résultat suivant, qui est le but principal de ma note: 



Théorème. — Pour presque toute l'étendue des tables de mortalité 

 usuelles [jusqu'à x„H-6 = 95 ans au moins), ^ est sensiblement indé- 

 pendant de 6, et, de plus, se confond à peu près avec l'âge moyen à 

 l'origine des temps des individus considérés (-), pourvu que cet âge 

 moyen ne dépasse pas 40 à 50 ans. 



En effet, soit un âge ^ intermédiaire entre a;, et a?„; tant que la valeur 

 absolue \x — ^' | de x — ^ n'est pas trop forte, on a, à une pre- 

 mière approximation : 



(1) Dormoyl, Tfiéorie des assurances sur la vie, Paris, 1878, t. (, p. 110. 



(2) Beaucoup de courbes déduites de Tobservation delà nature jouissent de pro- 

 priétés semblables pour des raisons similaires, parce qu'elles sont bien régulières ; 

 dans les limites de la pratique, les fonctions naturelles qui en dépendent et dont 

 on a besoin varient souvent d'une manière assez lente et dans le même sens pour 

 de grands intervalles. Ceci permet fréquemment d'introduire avec succès ^ des 

 moyennes: ainsi, l'influence non immédiate des pluies d'un mois (même d'une 

 saison), sur une nappe souterraine dépendra habituellement du total des pluies 

 du mois (de la saison), à moins peut-être d'une répartition tout à fait exception- 

 nelle de ces pluies. 



