87 



LA PERSPECTIVE D'UNE CONIQUE EST UNE CONIQUE. 



DÉMONSTRATION ÉLÉMENTAIRE 



par M. LEAU 



Professeur au Collège Stanislas 



On peut contester l'utilité de démonstrations plus élémentaires, 

 mais souvent bien plus compliquées, de propriétés qu'établissent 

 avec aisance d'autres méthodes. Parfois même, la démarcation que 

 l'on trace entre certains procédés est due plutôt à la nature des 

 programmes d'enseignement qu'à la différence des notions intro- 

 duites. Voici cependant un théorème important a La perspective 

 d'une conique est une conique » qui a des applications fréquentes, 

 spécialement en géométrie descriptive, pour lequel une démons- 

 tration élémentaire peut avoir de l'intérêt, une démonstration qui 

 exclut toute notion d'équation de lignes et d'éléments imaginaires. 



Celle que l'on va lire repose sur quelques propriétés dont la 

 plupart sont exposées dans les classes de mathématiques élémen- 

 taires. Quant aux autres — conséquences de la théorie des projec- 

 tions — elles n'exigent absolument aucun effort de la part de l'élève, 

 qui voit ainsi la fécondité de cette méthode. Pour bien montrer le 

 caractère élémentaire de la démonstration, il m'est nécessaire de 

 dire sur quelles propositions elle s'appuie : 



Rappels de quelques propositions : 



i^ Le lieu des conjugués harmoniques d'un point A par rapport 

 aux points d'intersection d'une sécante mobile issue de A, avec 

 un cercle 0, est tout ou partie d'une droite perpendiculaire en un 

 point B de OA, tel que l'on ait OA. OB = R^ en grandeur et en signe, 

 R étant le rayon du cercle. Le point A et la droite sont dits pôle et 

 polaire l'un de l'autre par rapport au cercle. 



Deux droites sont dites conjuguées par rapport à un cercle quand 

 chacune d'elles passe par le pôle de l'autre. L'une au moins 

 rencontre le cercle. 



Lorsqu'une droite passe par un point, son pôle est sur le polaire 

 de ce point. 



Un triangle est dit autopolaire par rapport au cercle lorsque 

 chacun de ses sommets a pour polaire le côté opposé. Construction 

 de pareils triangles. 



