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CONSTRUCTION 



DE LA TRANSFORMATION QUADRATIQUE PLANE 



AU MOYEN DES TRIANGLES TRlHOiMOLOGIQUES 



par M. Francesco FERRARI. 



L — Entre deux triangles ABC, A'B'C^ d'un plan on sait que 

 peuvent exister les trois homologies : 



ABC 

 A'BiCi 



ABC 



BiC^Ai 



ABC 

 C'A^Bi 



(3) 



dont l'une est une conséquence des deux autres, et parmi les- 

 quelles deux, par exemple (2) et (3), s'obtiennent au moyen de 

 l'autre (1), en permutant cycliquement entre eux les sommets 

 ASBSC. 



Les deux triangles sont dits alors triliomologiques. 



Le triangle A'B'C est déterminé, quand sont donnés deux som- 

 mets (par exemple A^ B') homologues de deux sommets (A, B) du 

 triangle ABC dans la première homologie (1). Le troisième sommet 

 C^ se construit en joignant C au point Hl^ d'intersection de AA^ avec 

 BB^, B au point M' d'intersection de AB^ avec CA^; et le point d'inter- 

 section de CJi* avec LUI- sera CK Les trois droites AC, BA^, CB' se 

 rencontrent aussi en un même point M^. A chaque point B^ ABC 

 etA^ étant fixes, correspond un point C ; mais dans le cas où B^ est 

 sur un côté de ABC, par exemple sur BC, à chaque position de 

 B^ correspond toujours comme point C le même point B. 



2, — Soient (xi, yi, zi), (x2, ya, z^), (xs, ys, za) les coordonnées 

 barycentriques de A^ B^, G^ par rapport au triangle fondamental 

 ABC. Les conditions d'existence des trois homologies (1), (2), (3) 

 sont respectivement 



x^ya^^^^yizi^^iy, ^3 , (4) . 



De ces relations résultent aisément les suivantes 



111 



X ,: y, : z, = — z.^ x,, : — x,, y^ : ■ — Vo z., , (5) 



1 1 Jj 



d'où l'on déduit que si, ABC et Ai restant fixes, Bi décrit une 

 courbe f (x^, y^) = o d'ordre n, le point Ci décrira la courbe 



^h^^'~\y;'j^y,h 1 = 



Bull. Soc. Philom. de Paris, 9» Série, N» 3, 1898-99. i. — 7. 



