AU MOYEN DES TRIANGLES TRIHOMOLOGIQUES 95 



autres ^°'\° + ^'- 3 "-ISiil = îli^i^ points €■ C] , C; 



on prendra un point arbitraire A' , et on construira le second 

 sommet B^ du triangle Irihomologique de ABC, dont le premier et 

 le troisième sont A^ et C^ , puis le second sommet B| du triangle 



trihomologique de ABC, dont le premier et le troisième sont A^ et 

 C| ,-etc. ; les ^ ^ points B', BJ , B^ ,..., ainsi obtenus, déter- 



mineront la courbe f " , des points de laquelle on passera ensuite 

 par la construction du n» 2 aux points de © ^■^'''. 



Si l'on veut en particulier construire la conique qui passe par 

 cinq points donnés A, B, C, C, C| , on prendra un point A', on 

 construira le second sommet B^ du triangle trihomologique de 

 ABC, dont le premier et le troisième sont A^ et C^ puis le second 

 sommet B| du triangle trihomologique de ABC, dont le premier et 

 le troisième sont A^ et C} , et B} sera la droite f, des points de 

 laquelle et à l'aide de A' on passera aux points de la conique 

 ABCC'CJ. On peut simplifier la construction de f en prenant comme 



point A^ un des points C^, C| , par exemple, C, car il suffit alors de 

 construire B| , et la droite C'Bj par le théorème I du n" 3 sera la 

 droite f. 



5. — Si la courbe f est une droite, on peut géométriquement 

 démontrer que (y sera une conique. En effet, tandis que B^ décrit la 

 droite f, Mi décrit la droite AA' et M2 la droite CA*, et en outre, 

 Bi, Ml , B sont en ligne droite, et B' , M2 , A sont aussi en ligne 

 droite. Par conséquent les deux ponctuelles décrites par B^ et Mi 

 étant transversales d'un même faisceau (B) sont projectives, et les 

 deux ponctuelles décrites par B' et M2 , comme transversales d'un 

 même faisceau (A), sont aussi projectives; d'où il résulte que les 

 deux ponctuelles décrites par Mi et M2 sont projectives entre elles, 

 et que les deux faisceaux (BM2 ...) et (CMi ...) sont aussi pro- 

 jectifs. Le lieu de C^ n'est donc que le lieu des points d'intersection 

 des rayons correspondants des deux faisceaux projectifs (BM2 . . .), 

 (CMi ...). 



6. — On peut faire la construction corrélative de celle du n° 1 ; et 

 en appelant (u^ , v^ , w^ ) , (u^ , v^ , w_, ) , (Ug , v^ , W3 ) les coordon- 

 nées tangentielles des côtés a*, b^ c^ du trilatère a^b'c^ trihomo- 

 logique du trilatère fondamental abc, on trouvera que les condi- 

 tions de la trihomologie entre abc, a^b'c^, seront 



