124 



SUR LES FONCTIONS HOMOGENES 

 par M. Désiré ANDRÉ. 



(Séance du 9 décembre 1899). 



La condition nécessaire et suffisante pour que f (x, y, . . .) soit une 

 fonction homogène de degré m, c'est que l'on ait identiquement 



xfjx, y,..) + yfy(x,y,...) 4- .... = mf(x, y,...). 

 Eq effet, d'après la définitioD des fonctious homogènes de degré m, 

 la condition nécessaire et suffisante pour que f(x, y,. . .) soit une 

 pareille fonction, c'est que l'on ait, quel que soit h : 



'""'■"„! ' =f(x,y....). 



h 



Dans cette égalité, le second membre est précisément la valeur 

 que prend le premier, lorsque h devient égal à l'unité. Donc il 

 faut et il suffit que ce premier membre garde constamment cette 

 valeur particulière: par conséquent qu'il soit indépendant de ii, 

 c'est-à-dire que sa dérivée par rapport à h soit identiquement 

 nulle. , 



Cette dérivée, simplifiée, a pour numérateur 



hxf'Jhx, hy,...) -h hyf ^^^(hx, hy,. . .) -f .... — mf(hx, liy. . .). 



Si nous posons 



tix = u, hy = v, , 



ce numérateur devient 



uf'ju, V,..) -i- vf'^(Li, V,...) + .... — mf(u, v,....).^ 

 Il faut donc et il suffit que cette nouvelle expression soit iden- 

 tiquement nulle ; ou, ce qui revient au même, que l'on ait 

 identiquement 



uf\_(u, V,..) -h vr^(u, V,...) 4- = mf(u, V,....). 



Or, cette identité finale équivaut à celle de l'énoncé, puisqu'elle 

 n'en diffère que parles noms des variables. 



Remarque. — Il est bien évident que l'énoncé ci-dessus contient 

 à la fois le théorème d'Euler sur les fonctions homogènes et la 

 réciproque de ce théorème. 



