48 D. ANDRÉ 



Si doDC n est impair et égal à 2v + 1, ces deux arrangements 

 inverses auront des amplitudes dont la somme sera 2v-l : ces 

 amplitudes seront l'une paire, l'autre impaire, et, par conséquent, 

 toujours différentes. 



Au contraire, si n est pair et égal à 2v, ces deux arrangements 

 auront des amplitudes dont la somme sera 2v-2; ces amplitudes 

 seront toutes deux paires ou toutes deux impaires ; elles pourront 

 devenir égales, mais ne le pourront que dans un cas unique : celui 

 où elles auraient pour valeur commune v-1, et où, par conséquent, 

 la corde du cercle répondant à la combinaison ne serait autre 

 chose qu'un diamètre. 



Quant à l'amplitude d'une combinaison, ce sera celle de l'arran- 

 gement par lequel on la représente. Toute combinaison, pouvant 

 être représentée par deux arrangements inverses, pourra donc être 

 regardée comme possédant deux amplitudes dont la somme sera 

 toujours w-2. 



8. — Étant donnés n objets naturellement ordonnés, tels que n 

 nombres entiers consécutifs ou n lettres consécutives de l'alphabet, 

 permuter circulairement une expression contenant plusieurs de ces 

 objets, c'est remplacer, dans cette expression, chacun de ces objets 

 par le suivant, et le dernier par le premier. Les trois lettres B, C, E 

 appartenant ainsi à la suite des cinq lettres A, B, C, D, Ë, permuter 

 circulairement le groupe B C E, c'est le remplacer parle groupe G D A. 



Pour le sujet qui nous occupe, nous n'avons à permuter que des 

 arrangements de deux lettres. Par cette permutation, dans le cas 

 de n lettres, l'origine et l'extrémité de l'arc représenté par l'arran- 

 gement avancent chacune, sur le cercle, d'un n'^''"*^ de circonférence 

 et, par suite, l'amplitude ne change pas. 



9. — Peut-il arriver qu'un arrangement de deux lettres et celui 

 qu'on en J déduit en permutant circulairement, possèdent un 

 élément commun ? 



Pour répondre à cette question, considérons les cordes corres- 

 pondant à ces deux arrangements. Evidemment, il ne pourrait y 

 avoir un élément commun que dans deux cas, savoir : si l'origine de 

 la seconde corde coïncidait avec l'extrémité de la première; — si 

 l'extrémité de la seconde corde coïncidait avec l'origine de la 

 première. 



Le premier de ces deux cas se présente toujours, et se présente 

 seulement lorsque l'arrangement d'où l'on part est d'amplitude 

 nulle. Pour que le second se présentât, il faudrait que l'amplitude 



