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23. — Nous allons montrer que, dans notre hypothèse de n 

 supérieur à 4, il est toujours possible d'opérer ainsi ; et, par consé- 

 quent, qu'il est toujours possible d'ordonner la série entière des 

 combinaisons deux à deux de telle façon que deux combinaisons 

 consécutives quelconques n'aient jamais d'élément commun. 



Considérons, en effet, la dernière combinaison d'une chaîne 

 ouverte et étendue. Cette dernière combinaison contient deux 

 lettres, par exemple A et B. La chaîne suivante contient n combi- 

 naisons, n étant le nombre total des lettres, sauf dans le cas sin- 

 gulier, exceptionnel, où elle n'en contient que v. 



Si elle en contient n, elle en renferme deux qui comprennent A 

 et deux qui comprennent B. Comme n est, au moins égal à 5, il en 

 reste une, au moins, qui ne contient ni A, ni B : c'est celle-ci qu'il 

 faut choisir pour première combinaison de cette chaîne suivante, 

 ouverte et étendue. 



Si cette chaîne suivante ne contient que v combinaisons, c'est 

 que n est pair, qu'il est égal à 2v, et que v est au moins égal à 3. 

 Soit toujours AB la dernière combinaison de la chaîne précédente. 

 Cette chaîne suivante, composée de trois combinaisons au moins, 

 ne contient qu'une combinaison renfermant A' et qu'une combi- 

 naison renfermant B. Elle nous présente donc, au moins, une 

 combinaison encore ne renfermant ni A, ni B, et c'est celle-ci qu'il 

 faut choisir pour première combinaison de la nouvelle chaîne, 

 ouverte et étendue. 



24. — En résumé, notre manière d'opérer est toujours appli- 

 cable ; elle peut même, en général, être appliquée de plusieurs 

 manières. D'un côté, en effet, nos v chaînes peuvent être, au com- 

 mencement, placées dans un ordre quelconque ; et, de l'autre, 

 quand nous passons d'une chaîne à la suivante, nous pouvons, en 

 général, choisir de plusieurs façons la première combinaison de la 

 nouvelle chaîne. Nous pouvons donc, en général, ordonner de 

 plusieurs manières différentes la série entière des combinaisons 

 deux à deux, de façon que deux combinaisons consécutives quel- 

 conques n'aient jamais d'élément commun. 



