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NOTE SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES CONIQUES 

 par M. LEAU. 



1. Voici un théorème connu, dont M. André m'a communiqué 

 l'énoncé : 



Si Von prend le point de rencontre d'une normale à une conique 

 avec l'axe non focal, le rapport des distances de ce point à un foyer et 

 au point d'incidence de la normale est constant et égal à l'excentricité 

 de la courbe. 



Cette propriété peut s'établir géométriquement d'une manière 

 très simple : 



Supposons, pour plus de précision, qu'il s'agisse d'une ellipse ; 

 et soieut F et F' ses foyers, MP la normale en M, limitée à l'axe non 

 focal. MP rencontre le cercle circonscrit au triangle F'MF à égale 

 distance de F et de F', donc en P. Le théorème de Ptolémée appli- 

 qué au quadrilatère inscrit PFMF' donne alors (avec les notations 

 usuelles) 



MP X 2c ,= PF X MF' -f PF' X MF 



PF 



ou ^ = e. 



2, Eu se laissant guider par les mêmes idées, on retrouve aussi 

 facilement d'autres propriétés connues : 



Appliquons au même quadrilatère MF'PF le second théorème 

 relatif aux quadrilatères inscrits. Nous aurons 



PM _ MF. MF' + PF 



2 c "~ PF (MF + MF') 



ou bien, en remplaçant PF par e. PM, 



MF. MF' 62 

 PM a- 



égalité qui peut s'énoncer : 



Le produit des distances d'un point d'une conique aux deux foyers 

 est dans un rapport constant acec le carré de la normale issue de ce 

 point et limitée à l'axe non focal. 



