SUR LES PAVAGES A L'AIDE DE POLYGONES RÉGULIERS 47 
En eflet, soit n le nombre des côtés du polygone étoilé. 
p l'espèce. 
n — 2 p) 2 
L’angle du polygone « a 
L’angle A D B = a 
L’angle D BG [1 > Gen) 
2 n 
OrilfautADB=DBG 
kn—8pr8—4n—2n+47p. 
Gi ni-r 2: 
Donc n doit être pair = 2. 
Di D de 2. 
Mais p est premier avec n, donc p est impair, donc »’ est impair. 
Or, soit N le nombre des côtés du polygone convexe : son angle 
sera 
2 N — 4. 
et il faut 
Nm (tr 2p Eh) 2n > 2p+2) 
Non n A 2n 
MR en nil 
Nue n' 
@—UN—= 2» 
—— NE 
Donc N devrait être impair : mais pour qu’un polygone convexe 
puisse être entoucé alternativement de polygones convexes et étoilés, 
il faut qu’il ait un nombre de côtés pair. Donc le problème est 
impossible. 
Il est évident que si le polygone avait un côté traversant le 
triangle À B D, les angles formés extérieurement par ce côté et par 
A D et DB seraient plus grands que l’angle A D B : le problème 
serait impossible a fortiori. 
Recherchons maintenant si l’on peut faire des assemblages sans 
vides, ni empiètement, présentant à chaque sommet les mêmes 
polygones, en même nombre, mais non nécessairement disposés dans 
le même ordre. Il est facile de voir que le problème devient indéter- 
miné : voici par exemple deux groupements présentant à chaque 
