154 D. ANDRÉ. — DÉMONSTRATION NOUVELLE D'UN THÉORÈME 
nombres distincts, et cette seconde permutation peut être regardée 
comme la conjuguée de la première, car, si l’on opérait sur elle 
comme on l’a fait sur la première, on retrouverait cette première 
permutation. 
Il suit de là que les permutations de n nombres distincts sont 
associées deux à deux ; et, par suite, que le système entier de ces 
permutations n’est qu’un système de couples de permutations 
conjuguées. 
_ Considérons maintenant les deux permutations composant l’un 
quelconque de ces couples. D’après la façon dont elles se déduisent 
l’une de l’autre, il est évident qu’elles commencent par deux 
nombres identiques, placés en ordres inverses ; mais, puisque n est 
au moins égal à 4, qu’elles finissent par deux nombres identiques, : 
placés dans le même ordre. 
Par conséquent, ces deux permutations commencent l’une par 
une séquence ascendante, l’autre par une séquence descendante ; 
elles finissent toutes deux par une séquence ascendante, ou toutes. 
deux par une séquence descendante. Donc, dans l’une de ces deux 
permulations, les séquences extrêmes sont de même sens; et, dans 
l’autre, elle sont de sens contraires. 
Or, évidemment, dans toute permutation où les séquences extrè- 
mes sont de sens contraires, il y a un nombre pair de séquences ; 
dans toute permutation où les séquences extrêmes sont de même 
sens, il y en à un nombre impair. 
Donc, si nous revenons aux espèces que nous avons définies em 
commençant, nous pouvons dire que les deux permutations consi- 
dérées présentement appartiennent l’une à la première de ces 
espèces et l’autre à la seconde. Mais il en est de même dans tous les. 
couples de permutations conjuguées. Donc, enfin, toutes les fois que 
n est égal ou supérieur à 4, il y a autant de permutations de la seconde: 
espèce qu'il yen a de la première. 
IIT. Ce théorème si simple a été donné par nous, pour la première 
fois (1), il y à déjà plusieurs années. Nous l’avions trouvé et 
démontré (2) alors par une méthode indirecte, exigeant des calculs 
assez compliqués. La démonstration qu’on vient d’en lire nous. 
paraît posséder ce double avantage d’être tout à fait directe et de 
n’exiger aucun calcul. 
IV. D'ailleurs, cette démonstration nouvelle suppose, comme 
(1) Comptes-rendus de l’Académie des Sciences, séance du 10 décembre 1883. 
(2) Dans notre Etude sur les maxima, minima et séquences des permultations: 
(Annales scientifiques de l'Ecole normale supérieure, 3° série, t. 1, 1884). 
