DU NOMBRE DES CHIFFRES DE LA PÉRIODE D’UNE FRACTION DÉCIMALE (65 
se 
Multiplions la première congruence (1) par 10/1, la deuxième 
DAr AO ETS la dernière par À, on aura : 
(2) 10% a = a, (mod b) 
En multipliant la première congruence (1) par 10r-1, ........., la 
RS par 1, on déduira des r premières congruences 
(3) 10r a = ay (mod b) 
Des congruences (2) et (3) on déduit, 
107 10m 1 É a — 0 (mod b), 
ou, comme & est premier avec b, 
(4) 10" | 0-7 — 1 } Z 0 (mod b). 
Cette congruence (4) un que, 
107 doit contenir tous les facteurs de 2 et 5 de b, 
AO-r — 1 — 0 (mod D’), b' étant le quotient de b par tous 
les facteurs 2 et 5 qu'il contient. 
Donc #-r est l’exposant auquel appartient 10 relativement au 
module b’ et alors le nombre des chiffres de la période est #-r7. Il y 
a r chiffres dans l’avant période. Donc : 
La fraction décimale périodique équivalente à une fraction ordi- 
naire irréductible est composée d'une avant période qui contient 
autant de chiffres qu'il y a d'unités dans La plus haute des puissances 
de 2 ou de 5 du dénominateur, et d'une période qui à autant de 
chiffres qu'il y a d'unités dans le nombre auquel appartient 10 rela- 
tivement au module b', b' étant le quotient du dénominateur b par 
tous ses Jacleurs 2 ou 5. 
Dans tous les cas, le nombre des chiffres de la période ne peut 
excéder + (b’) et il est toujours un diviseur de + (b”). 
Pour que la période ait ce nombre maximum de chifires, il faut 
que le nombre 10 soit racine primitive, relativement au module b", 
et on a vu qu'il fallait (Serret-Algèbre Sre Sect. II) : 
1° Que le module D’ soit un nombre premier impair ou une puis- 
sance d’un nombre premier impair ; 
2 Ou que le module D’ soit égal au double d’une puissance d’un 
nombre premier impair. 
3° Ou que le module D’ soit égal à 4. 
Ces deux derniers cas ne rentrent pas. dans notre hypothèse, 
donc : 
Une fraction périodique ne peut avoir le nombre maximum de 
chiffres dans la période que si son dénominaleur ne contient qu'une 
puissance d’un nombre premier impair m avec ou sans facteurs 2 et 5. 
Il faut de plus que 10 soit racine primitive de la puissance du 
