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nombre premier impair m; c'est-à-dire que 10 ou son résidu mini- 
mum soit racine primilive pour le nombre premier impair mn el que 
Om 1 
—— nesotitplus divisiblepar m(Serret, Algèbre Sre, n°317 et 318. 
Nous allons considérer lesdifférents cas qui peuventse présenter. 
I. Le dénominateur est un nombre premier impair D. 
Si le nombre 10 n'est pas racine primitive, il est résidu de puis- 
sance (Algèbre S'e de Serret, n° 312). Soit q cette puissance. Alors 
1 
10 appartient à l’exposant relativement au module petil y aura 
Tee ju 
= chiffres dans la période, et les congruences (1) donneront 
le ve ‘ : ae CAE 
a résidus a; différents. Si donc je considère les fractions = où 
zæ << p, Je pourrai trouver pour æ q valeurs telles que pour deux 
valeurs de x différentes les résidus correspondants soient tous 
différents, et comme il y en aura p-l, ce seront tous les nombres 
de la suite 
(1) 12 Rte un 
que je puis écrire 
œŒ (4 ee 1 
1 1.9 1.3 ae 
q 
œ œŒ Œ OC D; 0e (4 p 1 
2,1 2.9 2.3 9,07 
(2) 7 
œ (0,4 (4 estelle sie nie LA 1 
q.1 q.à 9.3 ie 
de manière que chacun des termes d’une même ligne soient les res- 
. 3 . . . Œi 
tes successifs que l'on obtient en convertissant la fraction “+ en 
fraction décimale. On voit alors que: 
pe , 7” 0 Ti, k . 5 
La période d’une fraction quelconque _ est une permutalion circu- 
; PRES à Œj Durs f à 5 
laire de la période de la fraction 5 car si je réduis cette fraction 
décimale, les restes successifs se présenteront dans l’ordre: 
œ. 1 
ik ik RA AN TEPEe te i1 na TER SUN ä,k—1 
qui est une permutation circulaire de la 5°” ligne. 
Si 10 est racine primitive pour le nombre premier p, les périodes 
des (p-1) fractions © (x — 1. 2. ... (p-1) se déduiront de l’une quel- 
conque d’entre elles par des substitutions circulaires. 
ho 
