DU NOMBRE DES CHIFFRES DE LA PÉRIODE D'UNE FRACTION DÉCIMALE 67 
II. — Le dénominateur est une puissance p' d’un nombre 
premier impair p. 
Le théorème suivant (conséquence du théorème du n° 318, 
Algèbre S'e de Serret), servira à reconnaître si 10 est racine primi- 
tive et à chercher l’exposant auquel 10 appartient : 
1 É 
THÉORÈME. — S2 10 appartient à l'exposant —— relalivement au 
p—1 
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module premier p, it appartiendra à l'exposant p' relati- 
BE 
q : 
vement au module p', lorsque 10  —1L y sera pas divisible par p. 
P et 
IL appartiendra à un exposant moindre, si 10 * —1 est divisible 
P 
par une puissance de p. 
Soit { l’exposant auquel appartient 10 relativement au module 
p’.Ona 
10° — 1 (mod p) 
et par suite 
Ur 1000 Vi) 
—! 
dont { est un multiple de a C'est d’ailleurs un diviseur de 
er ir j 
p —— puisque 
1 v-1 p-1 
10 — 1 = 0 (mod p") 
t est donc de la forme 
FU p} p—1 
q 
Soit à l’exposant de la plus haute puissance de p qui divise 
p1 
TR on aura 
40 —1, 
p-1 
DCE EU: 
(2) | 
105 OO EE Die 
À 
= 
&, 
S 
— 
LT 
S 
<[i 
=1+kp 
