68 L. CONTEJEAN 
Pour que i+à— v, il faut que À — v—à, 10 appartient donc 
ges vip-1 
à l’exposant p + 
S1 10 appartient à l’exposant ne relativement au module p° 
toute fraction irréductible ayant pour dénominateur p sera 
équivalente à une fraction périodique dont la période aura p pl 
chifires. 
Le nombre des fractions irréductibles ayant pour dénominateur 
1 
di : V- : 
p étant p  (p—1), on pourra trouver pi-1q nombres premiers 
V . . 
avec p et tels que les résidus successifs des périodes obtenues 
soient tous différents. On pourra alors démontrer sur les diverses 
périodes un théorème analogue au précédent et montrer qu'on 
peut former pl q groupes de périodes tels que les périodes d’un 
même groupe se déduisent de l’une quelconque d’entre elles par des 
substitutions circulaires. 
Si 10 est racine primitive pour le module D il n’y aura qu’un 
seul système de périodes, et elles auront alors D” (p-—1) chifires. 
III. — Le dénominateur est le produit de puissances 
dé nombres premiers impairs py qu Li 
Dans ce cas, la congruence 
M Fe) NA V L SX 
32 M) = 1 (mod. p’ gr...) 
ne peut avoir de racines primitives et par suite la fraction périodique 
n’aura jamais le nombre maximum de chiffres. Le nombre des 
chiffres de la période, qui est toujours un diviseur de w (M) est 
déterminé par le théorème suivant : 
v—i - 
—1 
THÉORÈME. — S2 10 appartient à l’exposant p relativement 
IS Vrne &, relativement au module aq, 
(NT 
au module p', à l'exposant qi 
, 10 appartiendra à l'exposant pi qi .…. 
: q—1 
Es relativement au module p’ q“ ...... 
En eftet, soit x l’exposant auquel appartient 10 relativement au 
ES 
