Séance du 27 Février 1892 
PRÉSIDENCE DE M. TANNERY. 
SUR UNE CURIOSITÉ ARITHMÉTIQUE 
par M. C.-A. LAISANT. 
Le nombre 49 (et cette remarque, paraît-il, a été faite depuis 
longtemps) jouit de cette propriété assez curieuse, que si l’on inter- 
cale 48 entre ses deux chiffres, puis encore 48 au milieu du nouveau 
nombre, et ainsi de suite, ce qui donne 
49, 4489, 444889, 44148889, 
on obtient toujours des carrés. 
Il est facile de vérifier immédiatement qu’il en est de même pour 
les nombres | 
k 16, 1156, 111556, 11115566, 
obtenus d’une façon analogue. 
On peut se demander s’il n’existe pas d’autres nombres présen- 
tant des propriétés semblables, soit dans le système décimal, soit 
dans d’autres systèmes de numération. 
Il est assez facile de reconnaître qu'il en est ainsi dans tout 
système dont la base B est un carré, plus un. Posons en eflet 
B = «°+1, et considérons le nombre y, formé en écrivant n fois le 
chiffre 1. Nous avons 
Br-—1 Br—1 
a pra ee 
D'un autre côté, c étant un entier quelconque, si nous posons 
N = cayn +1, il ensrésulte N? €? — a? y»? +20 à yn +1; c’est-à-dire 
N—= € y (B—1) + 2cayr +1 
= Yn [C2 Br + 2ca—e?] +1 
Si cet 2cax---c? sont tous deux inférieurs à B—1, ce seront des 
chiffres, dans le système considéré, et ils formeront évidemment 
des nombres N? analogues à ceux que nous avons considérés plus 
haut, dans le système décimal. Il suffit donc de prendre € < «; 
car 2ca— €? < x? dans tous les cas. 
Par suite, il y aura «—1 solutions, correspondant à c—1,2,... «—1. 
Dans le système décimal, B — 3? +1, « — 3, et il y a deux solu- 
tions, correspondant à c—1, c—2, 
