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Séance du 26 Mars 1892 
PRÉSIDENCE DE M. JULES TANNERY. 
SUR UNE SURFACE DE RÉVOLUTION DU QUATRIÈME DEGRÉ: 
DONT LES LIGNES GÉODÉSIQUES SONT ALGÉBRIQUES, 
par M. TANNERY. 
Il est aisé, ainsi que M. Darboux a bien voulu me le faire 
observer, de former des surfaces développables dont les lignes 
géodésiques soient algébriques; je ne sais si l’on connait des sur- 
faces autres que celles-là et que la sphère, qui jouissent de cette 
propriété. Quoiqu'il en soit, il m’a paru intéressant de signaler une 
surface de révolution, particulièrement simple, dont les lignes 
géodésiques sont algébriques (1). 
J'y ai été conduit en étudiant la note XV de la Mécanique de 
Despayrons, où M. Darboux a donné une règle pour trouver les 
surfaces de révolution admettant des lignes géodésiques fermées. 
En transformant très légèrement le résultat de M. Darboux, on 
reconnaît sans peine que toutes les surfaces de révolution, pour 
lesquelles x, y, z s'expriment au moyen des variables w et 6 par les 
formules 
z = R cos uw cos 6, 
y = R cos uw sin 6, 
z=R j, \/ [ 2u + f(u) P — sin? w du, 
appartiennent à cette catégorie, pourvu que soit un nombre 
commensurable et que f (u) soit une fonction impaire de w. Sans 
aborder ce problème : quelles formes et quelles valeurs doit-on 
attribuer à la fonction f (u) et à la constante », pour que zx soit une 
fonction algébrique de sin u et que, par suite, la surface soit algé- 
- brique, j’observe qu’on a une solution évidente en supposant 
J (u) 
Sin w, 
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(1) J'ai déjà signalé cette surface dans le Bulletin des sciences mathématiques 
de la présente année; je n'ai fait qu’indiquer les résultats que je développe ici. 
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