SUR UNE SURFACE DE RÉVOLUTION DU QUATRIÈME DEGRÉ 87 
portion de surface considérée s'obtient alors en faisant varier dans 
les formules (1) w de — à de s et 6 de0 à 27. Le z du point le 
plus bas de la surface est — a (V2 — 1), le z du point le plus haut 
est a; le parallèle maximum, de rayon _. est situé dans le plan des 
Œ Ye 
L'élément linéaire de la surface est donné par la formule 
ds? — 2+ sin u) ? du? + cos? “am | 
| ds 
dt 
2 do : 
même de F cos? u nm > di n’est autre chose que le double de la 
dérivée par rapport au temps de l’aire décrite par le rayon qui va 
de l’origine des coordonnées à la projection du point mobile ; il en 
résulte que l’équation différentielle des lignes géodésiques est de: 
la forme F 
Sur une ligne géodésique, la vitesse —— est constante, il en est de 
(2 + sin uw}? du? + cos? w d02 — A cosi u d 62 
À étant une constante, qui en vertu même de cette équation, est 
positive et plus grande que un; on peut donc la représenter 
1 : À 
Dares et l'équation difiérentielle, résolue part rapport à d 6 
œ 
a 
devient 
Cosa 2 + sin w 
(3) EE = ——— , 
COSU cos? u— cos? « 
, . . - T 
cette équation montre que, si l’on suppose « compris entre o et 9? 
u devra varier entre — «et + ; en + particulier il s’annulera et 
toutes les lignes géodésiques, comme il résulterait d’ailleurs de 
propositions bien connues, rencontreront le parallèle maximum ; 
dès lors la signification de la constante « apparaît immédiatement : 
c’est l’angle sous lequel la ligne géodésique coupe ce parallèle 
maximum. On a en effet en général 
et, par conséquent, pour u = 0, 
D ae) 
AE “4 \ds/0° 
or le second membre a bien la signification indiquée. 
