SUR UNE SURFACE DE RÉVOLUTION DU QUATRIÈME DEGRÉ 89 
expressions réduites de sin (0 — x), cos (8 — x), et d’avoir finalement 
l'équation de la ligne géodésique sous l’une ou l’autre des formes 
V sin? « — sin? 2sin w —sin? «(1 + sin u) 
in (9— «)— = : 
SRE) sin? « cosu(l—sinu) ” 
5 to Fe COS & sin? & (1 + sin uw) — 2 sin? w 
(5) ou sin? «  cosu (1 — sin uw) * 
[l ° 9 UT ° 9 Q MS Q 9 Q 
te (6—4)— V Sin? a«—sin? u 2sin w —sin HÉRAn 
COS sin? «(1+sinu)—2sin? w 
qui mettent bien en évidence le caractère algébrique de la courbe, et 
qui, jointes à l’équation différentielle (3), permettent de se rendre 
compte de sa forme, comme je vais maintenant le montrer. 
En désignant sin « par £, on voit que tg (ô —«) s’annule pour 
Éo — SIN 4 nu | 
= SI { — EEE; 
: F 2 — sin? «’ 
ce second membre est plus petit que sin «, et je supposerai qu’on 
prenne pour %, la valeur comprise entre o et «; de même tg (0—«) 
devient infinie pour les deux racines 4, & de l’équation 
2 € — £ sin? « — sin? x — 0 
en substituant dans le premier membre € sin «, on trouve un 
résultat positif ; en substituant sin w, on trouve un résultat négatif; 
si donc on désigne par sin #1, sin w2 les racines de cette équation, 
on voit qu’on peut supposer 
T T 
on en OU QUEUE 
on précisera encore la discussion en cherchant pour quelles valeurs 
de u tg (0 — x) est égale à +tg «; 6 est alors égalànrouànrTr+2u, 
en désignant par n un nombre entier ; les valeurs correspondantes 
de 5 — sin w sont données par l’équation 
DEA EEE) ER AR EEGE 2 SAME n)E 
= Ep (1—E) (pt) +E[2E—pPUH+EDR | = 0 
où p désigne sin &, comme plus haut; cette équation admet la racine 
& = 0; les coefficients de ££ et de £ sont positifs, de plus on trouve 
de suite 
p (Ep) > 0, p (0) > 0 
p(&) < 0, p (&) < 0; 
on voit donc que l'équation + (£) — 0 admet, outre la racine 0, trois 
racines réelles, que l’on peut désigner par sin w’, sin w”, sin w”, 
