SUR UNE SURFACE DE RÉVOLUTION DU QUATRIÈME DEGRÉ gl 
dans ces conditions, la dérivée in soit négative, il est nécessaire 
de changer le signe du radical, qui reste le même tant que w varie 
de — x à +«; entre ces limites 6 est donc donné par la formule 
Fe COS T2 Sin v)idu 
Ra —— 
) 4 Cosu Vsin?x — sin? w 
di 
"U cos a (2 + sinu) du 
CC  —— —_— 
Jo cosu  Vsin?a — sin? u 
On voit donc que la seconde branche de courbe décrite ainsi en 
faisant décroître w de x à — « est symétrique de la première par 
rapport au plan méridien de longitude x + x qui contient le point 
le plus haut et le point le plus bas; les valeurs de 6 qui corres- 
pondent aux valeurs de w 
DU a EU UT OUR PU ENEEUc 
sont respectivement 
JT ë T 
3 + % 27, AT ae LÀ ae 20, 28 TT a, OT, JT + Ü ; 
la courbe est alors fermée et le mouvement recommence indéfi- 
niment ; les deux branches de courbe se croisent au point dont les 
coordonnées sont 
TG Tai AL, 
pour la première, 
= DTr-R ou —1U0 
pour la seconde: ce point double est naturellement dans le plan de 
symétrie de la courbe. On se rend compte, d’après cela, de la forme 
de la courbe ; c’est une sorte de 8 gauche, dont chaque boucle fait le 
tour de la surface et dont Le point double est sur la partie antérieure. 
de la surface : elle a été figurée (fig. ci-Jointe), en projection ortho- 
gonale sur le plan des x, #, la projection de la partie qui est en avant 
de ce plan, a été figurée en trait plein la projection de la partie 
qui est en arrière a été ponctuée. La figure a été faite en supposant 
D 
Dr et c’est pour cette raison que la projection passe par le 
point 0. La portion de la courbe, que l’on a décrite d’abord, en 
faisant croître w de — « à + «, est projetée en M A B C M’; l’autre 
portion, que l’on obtient en faisant décroître w de « à — «, est pro- 
